592 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье -Стокса эквивалентно

!!** -

а применение оператора L{At) к U* д: эквивалентно

(9.23)

(9.24)

-. (9.25)

Как упоминалось в п. 4.5.8, последовательность операторов является согласованной, если для каждого оператора суммы шагов по времени равны, и имеет второй порядок точности, если она симметрична. В применении к уравнению (9.1) последовательность, удовлетворяющая этому критерию, задается выражением

и?.) = L, (А/;с) Ly (My) Ьг (А/г) и (А4) Ly {Му) U Ш U?. /. .

(9.26)

Другая последовательность, удовлетворяющая этому критерию и применяемая, когда Ау < т1п(Ал:, Аг), задается в следующем виде:

Vtfh = и Ш [Ьу {У[ т (А/,)Х

(9.27)

где т - целое.

Алгоритм, полученный в результате применения последовательностей операторов, таких, как уравнения (9.26) и (9.27), устойчив, если размер шага по времени в аргументе каждого из операторов не превосходит разрешенного для этого оператора максимального значения. Так как не представляется возможным проанализировать устойчивость каждого из операторов применительно к полным уравнениям Навье - Стокса, для них можно использовать одномерные эмпирические критерии устой-

ЧИВОСТИ

(м + а)(1 + 2/Ред) • Д/ <

(9.28)

(tt; + a)(l+2/Reд)

где а - коэффициент запаса и а - местная скорость звука.

Численные расчеты уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости иногда «разваливаются» из-за осцилляции, которые являются следствием неадекватного измельчения сетки в областях больших градиентов. Во многих случаях измельчение сетки в этих областях лишено практического смысла, особенно если они сильно удалены от рассматриваемой области. Для таких ситуаций Мак-Кормак и Болдуин [МасСогтаск, Baldwin, 1975] разработали сглаживающую схему четвертого порядка, являющуюся альтернативой сглаживающей схеме четвертого порядка, заданной уравнением (8.100). При сглаживании по Мак-Кормаку к оператору Ьх{Ых) добавляются диссипативные члены следующим образом*

и** -

(9.29)

(i</..i+;./..)x

V W.f.kl .JJ. /

(9.30)

(I Ox

{Pi+l, f,k + 2P£. f,k + Pi-l, /, k) J

И для устойчивости о Ее 0.5. Таким образом, в уравнения Навье - Стокса добавляется член с искусственной вязкостью

вида

(9.31)

Величина этого сглаживающего члена очень мала всюду, за исключением областей резких осцилляции давления, в которых аппроксимация без сглаживания приводит к ошибочным результатам.

Явная схема Мак-Кормака годится для расчета как стационарных, так и нестационарных течений в диапазонах от малых до умеренных чисел Рейнольдса. Однако ее применение не дает

Грубая сетка

Мелкая сетка

1= 1 2

Рис. 9.1. Расчетная сетка для течения на плоской пластине при больших числах Рейнольдса.

удовлетворительных результатов в случае течений при больших числах Рейнольдса, когда области с преобладающим влиянием вязкости становятся тонкими. Для таких течений сетка должна сильно измельчаться, чтобы разрешить вязкие области надлежащим образом. Это в свою очередь приводит к малым шагам по времени и, следовательно, к большим временам счета, если используется явная схема, например схема Мак-Кормака. Чтобы показать это, рассмотрим двумерное течение на плоской пластине при больших числах Рейнольдса. Тогда вблизи поверхности пластины требуется очень мелкая сетка для разрешения пограничного слоя, а в невязкой части поля течения можно пользоваться более грубой сеткой, как показано на рис. 9.1. На грубой сетке можно использовать расщепленную по времени схему Мак-Кормака

у)тр. с-

(9.32)

(9.33)