На мелкой сетке может бьиь использована следующая последовательность операторов:

где т - наименьшее целое, удовлетворяющее условию

<min(A;„ 2Лдм.с..

(9.35)

Opji больших числах Рейнольдса область мелкой сетки становится очень тонкой, что требует, чтобы Ду было мало. Это приводит к очень малым ls.ty в операторе Ly и очень большим целым т. Следовательно, существенная часть машинного времени тратится на расчет в области измельченной сетки. Для преодоления этой трудности Мак-Кормак [МасСогтаск, 1976] разработал гибридную версию своей схемы, названную схемой Мак-Кормака быстрого счета. Эта гибридная схема является частично явной и частично неявной. Для течения на плоской пластине, о котором шла речь выше, схему быстрого счета можно реализовать, если заменить оператор Ly{At/2m) в уравнении (9.34) на

в котором оператор 1ун действует на невязкую (гиперболическую) часть уравнений Навье - Стокса, т. е. на

где Fh определен как

L{Et + p)v

(9.36)

(9.37)

Оператор Lyp действует на вязкую (параболическую) часть уравнений Навье - Стокса

dt ду

(9.38)

где Fp = F •- Ря. Уравнение (9.36) решают с оператором Ьун либо методом характеристик, либо при помощи первоначальной версии схемы Мак-Кормака [Li, 1977; Shang, 1977]. Уравнение (9.38) решают с оператором Lyp при помощи неявной схемы, на-

Пример схемы Кранка - Николсона или схемы Лаасонена. Таким образом, уравнения (9.36) и (9.38) можно решать с шагом по времени, не ограниченным вязким критерием устойчивости. Оказалось, что схема быстрого счета обладает (10-100)-кратным быстродействием по сравнению с расщепленной по времени схемой для течений при больших числах Рейнольдса. Правда, ввиду ее сложности довольно трудно составить программу расчета на ЭВМ по этой схеме. Позднее Мак-Кормак [MacCormack, 1981] разработал неявную версию своей исходной схемы, о чем речь пойдет в п. 9.2.4.

9.2.2. Другие явные схемы

Помимо схемы Мак-Кормака для решения уравнений Навье - Стокса в случае сжимаемой жидкости можно использовать и другие явные схемы, включая схему «классики» (п. 4.2.12), схему «чехарда» (Дюфорта - Франкела (п. 4.5.2)), схему Браиловской (п. 4.5.3), схему Аллена -Чена (п. 4.5.4), схему Лакса - Вендроффа (п. 4.5.5). Эти схемы обсуждались ранее в связи с применением для решения либо уравнения теплопроводности, либо вязкого уравнения Бюргерса. Когда эти схемы применяются к уравнениям Навье - Стокса для сжимаемой жидкости, которые имеют более сложный вид по сравнению с только что названными уравнениями, то возникают некоторые трудности. Например, представляет определенную сложность аппроксимация членов со смешанными производными в схеме «классики». Если их дискретизировать обычным способом, применяя уравнение (3.51), то эта схема перестает быть явной, так как требуется обращение матриц. Этого можно избежать, если брать члены со смешанными производными с предыдущего по времени слоя.

Все названные выше схемы, за исключением схемы Лакса - Вендроффа, имеют первый порядок аппроксимации по времени, поэтому их нельзя использовать для точных расчетов изменяющегося во времени поля течения. Кроме того, все эти схемы имеют ограничение на максимальный размер шага по времени, вытекающее из условия устойчивости. Однако условия устойчивости для схем «классики» и Аллена - Чена не зависят от вязкости, что выделяет их в лучшую сторону среди прочих схем. Для схемы «классики» допустимый размер шага по времени, обусловленный условием Куранта - Фридрихса - Леви, в случае двумерной задачи запишется в виде

если Ал: = Лу. Важное преимущество схемы Браиловской состоит в том, что она требует вычисления вязких членов только на одном шаге двухшаговой процедуры. В обзоре [Peyret, Vi-viand, 1975] можно найти и другие явные схемы решения уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости.

9.2.3. Схема Бима -- Уорминга

Разностная схема Бима •-Уорминга [Beam, Warming, 1978] решения уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости относится к классу неявных схем переменных направлений, предложенных в рабочих [Lindemuth, Killeen, 1973; McDonald, Briley, 1975]. Можно показать, что при выполнении некоторых условий все эти схемы эквивалентны. В п. 4.5.7 обсуждалось применение схемы Брили - Макдональда к вязкому уравнению Бюргерса.

Для простоты ограничимся случаем двумерных уравнений Навье •- Стокса для сжимаемой жидкости и применим схему Бима - Уорминга к этим уравнениям, записанным в следующей векторной форме: ди

дЕ(У) dF(V) + (5а: +

dWi(VyVx) + а«/ +

dVi (U, aV2(U, Vy)

+ (5л: +

(U, U;)

(9.40)

V, + V2

W,+W2 =

H{2u-Vy)

Ц {Uy + Vx)

liv {Uy + v) + - iiu {2u - Vy) + kT, 0

lii(2vy-u,) ци (и„ + У) -Ь "I Viv {2vy - Ux) + kTy

(9.41)