В схеме Бима - Уорминга решение получают установлением по времени в соответствии со следующей разностной формулой:

- 1+е, dt 1+62 dt \ +Q2

+ О [{q, - у - + (Mf], (9.42)

где Аи = U"+ - U. Эта общая разностная формула при соответствующем выборе параметров 6i и 62 описывает многие обычные разностные схемы, как мы видели в п. 8.3.3. В случае уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости обычно используют либо неявную схему Эйлера (61 = 1, 62 = 0) с первым порядком аппроксимации по времени, либо трехточечную неявную схему с разностями назад (61 = 1, 02 = 72) со вторым порядком аппроксимации по времени.

Подставляя (9.40) в уравнение (9.42), получаем

А*и =

= -TFST [ш (-A«E+AVi+A«V2)+ -1- (-A«F+A«Wi + AW)] +

+ -ng-. д-и + О [(е, - - 82) (АО + т\.

(9.43)

Эта разностная формула в так называемой дельта-форме уже обсуждалась ранее. Дельта-члены линеаризуются путем разложения в ряд Тейлора. Например, а"Е линеаризуется при помощи соотношения

gn+i и) + о [{Mfl (9.44)

Последнее равенство можно переписать в виде

а"Е = [АГ а*и + о [(а/2], (9.45)

где [А] -матрица Якоби дЕ/дИ:

[Л]=-

yEfU

+ (1 -7)ф2

(1-7) О

(9.46) "

ну - отношение удельных теплоемкостей. Матрица Якоби выписана в предположении совершенного газа. Аналогичным образом можно линеаризовать и ДР:

где [5] - матрица Якоби dFfdV:

(Т-З)и

(9.47)

(9.48) "

Вязкий дельта-член AVi(U, Их) линеаризуют, записывая

=[РГ л"и+[ЯГ д"и+о [тп=

= {[Р] - [/?.])" А"и + ([/?]" A"U) + о {МП (9.49)

где [Р] - матрица Якоби d\i/d\}, [R] - матрица Якоби dWi/dlix и [Rx] =d[R]/dx. Эти матрицы можно записать в следующем виде:

Рх VHx

(9.50)

О О О

Си (9.50

Матрица Якоби [Р] - [Rx] выписана в предположении, что \х и k локально не зависят от U. Аналогично AW2(U, liy) линеаризуется в виде

AW = т - [8у]Г Аи + {[Sr AU) + О тп (9.52)

АН АН-

(9.53)

-jpv

Члены со смешанными производными вычисляются на явном слое без потери точности, если просто заметить, что

дХ = А-2 + О[(А0], AWi=A"Wi + 0[(AO]

(9.55)

при постоянном шаге At. Вычисление таким способом членов со смешанными производными приводит к блочной трехдиагональной форме уравнений. Описанный в п. 8.3.3 вариант линеаризации [Steger, 1977] вязких членов можно использовать вместо линеаризации, заданной уравнениями (9.49) и (9.52). Метод Стегера особенно полезен, когда при решении уравнений Навье - Стокса выполняется преобразование координат.