Подставляя (9.45), (9.47), (9.49), (9.52) и (9.55) в уравнение (9.43), получаем

[/]+

в,л<

{[А]-[Р] + шг--£-ж+

+ 4: т - [Q] + [5,])" - [5]"]} Д-и =

1+62

( E + V, + V2)" + (-F + W, + W2r] +

± (A«-V,) + (A-W,)

+ о[(в>-Т-в2)(Д0. (Д)].

(9.56)

где [/] -единичная матрица. В уравнении (9.56) выражения типа

{[А]-[Р] + ШГ

д"и

означают

[(И1-[Л + М"Д"и1.

Левая часть уравнения (9.56) факторизуется следующим образом:

X {[/] + T?i [- т - [Q] + [5,]) - [Sr]} Аи = = Левая часть уравнения (9.56) + О [(А/)], (9.57)

и окончательный вид схемы Бима - Уорминга таков:

Левая часть уравнения (9.57) = Правая часть уравнения (9.56).

(9.58)

Частные производные в этом алгоритме вычисляются со вторым порядком точности по центральным разностям.

Схема Бима - Уорминга реализуется следующим образом:

Шаг 1

{fJ + (И] - [Р] + [RAr - Ж]} Ди, =

== правая часть уравнения (9.56). (9.59)

602 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье - Стокса Шаг 2

(9.60)

ШагЗ

и+ = и + Ли. (9.61)

На шаге 1 AUi суть оставшиеся члены левой части уравнения (9.57). Уравнения (9.59) и (9.60) суть системы уравнений, которые имеют блочную трехдиагональную структуру, аналогичную структуре уравнения (8.98) с той лишь разницей, что в случае двумерных уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости блоки суть матрицы размером 4X4.

Уорминг и Бим [Warming, Beam, 1977] исследовали устойчивость своей схемы для двумерного волнового уравнения

Ui + CiU + cy = Q (9.62)

и для уравнения диффузии

щ = аих + Ьиу + cuyy. (9.63)

Последнее уравнение параболическое, если < 4ас и (а, с) > > 0. Уорминг и Бим обнаружили, что для уравнения (9.62) схема безусловно устойчива, если 62 > О, а для уравнения (9.63) она безусловно устойчива при 02 0.385. Заметим, что ни схема «чехарда» (61= О, 02 = -1/2), ни неявная схема с центрированными разностями по времени (0i = 1/2, 02 = 0) не являются безусловно устойчивыми для уравнения (9.63). Однако трехточечная схема с разностями назад (0i = 1, 02= 1/2) безусловно устойчива, и ее можно использовать, когда необходим второй порядок аппроксимации по времени.

Чтобы успешно реализовать вычисления с приближенно заданными начальными данными и подавлять возникающие высокочастотные осцилляции, часто бывает необходимо в схему Бима - Уорминга вводить демпфирование. Это можно осуществить добавлением в правую часть уравнения (9.56) на явном слое, диссипативного члена четвертого порядка вида (8.100). Кроме того, если интерес представляет только установившееся решение, то в левую часть уравнения (9.56) на неявном слое можно добавлять сглаживающий член второго порядка. Порядок последнего члена может быть вторым, поскольку он не оказывает влияния на установившееся решение, когда Ali = 0. После добавления сглаживающих членов разностная схема принимает следующий окончательный вид:

§ 9.2. Уравнения Навье - Стокса для сжимаемой жидкости 603 Шаг 1

= Правая часть уравнения (9.56) ~ (б + б) U. (9.64) Шаг 2

(9.65)

ZZ/аг 3

ц« + 1 уп дггц (9.66)

где б, 6 и б - обычные операторы с центральными разностями, а iEe и Bi - коэффициенты при сглаживающих членах на явном и неявном слоях соответственно. Используя анализ Фурье устойчивости, можно показать, что для устойчивости схемы коэффициент при сглаживающем члене на явном слое должен лежать в диапазоне

<-<ЖШ- (9.67)

Был исследована [Desideri et al., 1978] возможность максимализации скорости сходимости зависящего от времени решения за счет выбора отношения коэффициентов при сглаживающих членах. Оказалось, что скорость сходимости схемы Бима - Уорминга (с дискретизацией по Эйлеру на неявном слое) для уравнений Эйлера оптимальна, когда

8/8 = 2. (9.68)

Бим и Уорминг показали, что их схема может быть значительно упрощена, если \i считать постоянной величиной. Тогда (Xj,, Х(/) = О и уравнения (9.50) и (9.53) сводятся к уравнениям

[Р]-Ш = 0. [Q]-[Sy] = 0.

Если требуется только установившееся решение, то Таннехил и др. [Tannehill et al., 1978] предложили вязкие члены в левой части схемы (т. е. [Р], [Rx], [R], [Q], [Sy], [S]) положить равными нулю, при условии что в ней оставляют сглаживание на неявном слое (8/>0). При этом используется тот факт, что левая часть уравнения (9.57) стремится к нулю по мере установления решения. Это существенно упрощает схему Бима - Уорминга, особенно если используется система координат, отличная от декартовой. Полагают, что такую упрощенную схему можно применять для вычислений в диапазоне чисел Рейнольд-