(&.72)

(«r)exp. = T к + («?-)exp. + (А«Г)ехр.] • (9.73)

Эти уравнения записаны в дельта-форме с

щ = ul+ - uf и х = /Дл:. (9.74)

Нижний индекс expl употребляется для указания того, что данная величина вычисляется по явной схеме Мак-Кормака. Неявная схема Мак-Кормака является неявным аналогом уравнений (9.70) -(9.74) и задается следующими уравнениями:

са от умеренных до очень больших, так как скорость сходимости при этом не изменяется, как показывают тесты. Чтобы еще уменьшить затраты машинного времени, система связанных друг с другом уравнений Навье - Стокса в приближении тонкого слоя была преобразована [Chaussee, Pulliam, 1981] к диагональному виду, после чего они решаются независимо одно от другого.

9.2.4. Неявная схема Мак-Кормака

Мак-Кормак [MacCormack, 1981] разработал неявный аналог своей схемы, состоящий из двух шагов. На первом используется первоначальный вариант схемы Мак-Кормака, тогда как на втором - неявная схема, что устраняет какие-либо ограничения в связи с устойчивостью. В результате получаются либо верхние, либо нижние блочные двухдиагональные системы уравнений, которые решать проще, чем обычные трехдиагональ-ные системы. Объясним неявную схему Мак-Кормака на примере линейного уравнения Бюргерса

ut = -cu, + \iu,,, О О, 11 >0. (9.69)

Исходная явная схема Мак-Кормака для уравнения (9.69) (см. п. 4.5.6) приводит к следующим уравнениям: Предиктор

(Юехр. = («?+. - «?) + - + -

(«Р)ехр1 = «?+(Д«?)ехрИ (9-71)

Корректор

§ 9.2. Уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости 605 Предиктор

(1 + А«р = (Аи?)ехр. + А«П1. (9-75)

ир = н? + Аыр. (9.76)

Корректор

(» + ) = (Д"Г)ехр1 + (9.77)

«г = у к + + ДГО (9-78)

где (Aaf)gpj и (Аар)р определяются по уравнениям (9.70) и (9.72) соответственно, а Я выбирается таким образом, чтобы

>max[(c + -4f), О.О]. (9.79)

Эта схема безусловно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации как по времени, так и по пространству, при условии что величина \ils.t/{Axy ограничена при стремлении Д/ и Да: к нулю. Это легко показать, так как члены, добавленные к исходной схеме Мак-Кормака второго порядка для получения уравнений (9.75) и (9.78), сами имеют третий порядок. То есть уравнение (9.75) можно записать в виде

Д«Г = (Ди?)е,р, + (д«?л - дг о =

=(А"?)ехр1 + i (f) + о тп (9.80)

и аналогично уравнение (9.77) в виде

д„„+, (Д„р)р, - Я (А0== 1 (-1) + О [т% (9.81) Подставляя (9.76), (9.80) и (9.81) в уравнение (9.78), получаем «?+ = Y [2«? + (А«?)«.р, + (А«Р)ехр.] + О тП (9.82)

«Г = Y [«? + («Г)ехр. + (Д«Р)ехр.] + О тП (9.83)

Таким образом, мы показали, что

Уравнение (9.78) = Уравнение (9.73) + О [{Mf], (9.84)

Уравнения (9.75) и (9.77) приводят к двухдиагональным системам алгебраических уравнений, которые легко решаются за

Если < (Д)ехрь то

с + -1<0 (9.87)

и из уравнения (9.79) следует, что X равно нулю. В этом случае нет необходимости для обеспечения устойчивости на втором шаге применять неявные процедуры и неявная схема Мак-Кормака сводится к исходной явной. Но если Д/> (АОехрь то X выбирается таким образом, чтобы ,

> + -- (9-88)

Когда неявную схему Мак-Кормака используют для решения двумерных уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости

ЭТО дает следующий алгоритм. Предиктор

(9.90)

(и )(in - )AUrV = (AU;.,U,. (9.9.)

un=ll"/ + iu!V- (9.92)

ОДИН проход всей расчетной области. Например, уравнение (9.75) можно записать в виде

так что если мы идем от правой границы {i = NI), где и извести к левой (1=1), мы можем непосредственно определить АиК Это напоминает процедуру, используемую в явных схемах переменных направлений из п. 4.2.10.

Параметр 1 выбирают из рассмотрения предела устойчивости исходной явной схемы Мак-Кормака, задаваемого в приближенном виде

(Д0ехр.<7+. (9.86)