схемы рассмотрим случай v>0. Пусть Ry равно \vJ\Ay/Vy а равно требуемому критическому значению сеточного числа Рейнольдса, при котором происходит переход к гибридной схеме, Rc2. Тогда при v}>0 и RavRc запишем конечно-разностной аналог величины vdu/dy в виде

(7.27)

Первое слагаемое в правой части последнего равенства обозначает центрально-разностную аппроксимацию производной, а второе - аппроксимацию с разностями против потока. Конечно-разностная аппроксимация (7.27) написана для случая vj > 0. Член с разностями против потока должен быть, естественно, записан по-другому, если направление потока изменится, т. е. если vl < 0. Вид конечно-разностного аналога в этом случае очевиден.

Мы видим, что при увеличении Ry стоящее в правой части взвешенное среднее разностных производных приближается к разностной производной против потока. При Ry оо производные аппроксимируются в точности разностями против потока. Гибридная схема гарантирует получение отрицательных значений коэффициентов Л/ и В/ в уравнении (7.25) и при этом максимально использует центрально-разностную аппроксимацию производной.

Познакомиться с литературой, посвященной роли сеточного числа Рейнольдса и некоторым последним предложениям по решению возникающих при этом проблем, можно в работах [Raithby, 1976; Leonard, 1979а, 1979b; Chow, Tien, 1978], Вполне вероятно, что вместо гибридной схемы, использующей комбинацию центральных разностей и разностей против потока, со временем будет предложен более подходящий способ построения разностных схем, удовлетворяющих ограничению на величину сеточного числа Рейнольдса. В настоящий момент, однако, у ученых нет единого мнения ни о значительности ошибки, возникающей при решении уравнений пограничного слоя по гибридной схеме, ни о наилучшей альтернативной процедуре.

Интересно отметить, что в научно-технической литературе нет указаний на то, что величина сеточного числа Рейнольдса накладывает какие-либо ограничения на возможность применения разностных схем решения уравнений пограничного слоя в тех случаях, когда уравнения неразрывности и движения ре-

шаются одновременно, например по описанной в этой главе схеме Дэвиса или приведенному в п. 7.3.5 модифицированному блочному методу. При совместном решении уравнений величина V в члене vdu/dy рассматривается в алгебраических уравнениях как неизвестная, а не как коэффициент при неизвестной и. По-видимому, при совместном решении уравнений неразрывности и движения пропадают осцилляции и нефизическое поведение решения, наблюдаемые в тех случаях, когда при больших сеточных числах Рейнольдса используются центральные разности. Другой вопрос - является ли получаемое при этом гладкое решение более точным, чем решение, полученное при независимом расчете уравнений неразрывности и движения с использованим разностей против потока.

Заключительное замечание о методе Кранка -Николсона и полностью неявном методе. Приведенные в этом разделе разностные схемы специально были использованы для решения уравнений, записанных в физической системе координат, а разностные уравнения были выписаны для случая постоянных шагов сетки Дл: и Ау. Это было сделано в основном для того, чтобы при изучении основных особенностей разностных схем иметь дело с наиболее простыми по виду уравнениями. Теперь, когда мы познакомились с основными особенностями конечно-разностных методов решения уравнений пограничного слоя, мы покажем, как их можно распространить на случай неравномерных сеток.

Программы расчета на ЭВМ, основанные на применении неявных методов, уже описаны в имеющейся литературе, поэтому они в этой книге не приводятся. Широко известньщ метод Патанкара - Сполдинга основан на полностью неявном методе и подробно описан в работе [Patankar, Spalding, 1970]. Еще одна программа STAN5, основанная на применении полностью неявной схемы, подробно описана в работе [Crawford, Kays, 1975].

7.3.4. Метод Дюфорта - Франкела

В качестве еще одного конечно-разностного метода, позволяющего рассчитывать ламинарные и турбулентные пограничные слои, опишем метод, являющийся обобщением предложенного Дюфортом и Франкелом [DuFort, Frankel, 1953] метода решения уравнения теплопроводности. Конечно-разностный аналог уравнений пограничного слоя мы запишем в виде, позволяющем использовать неравномерные сетки. Пусть Ал:+ = х- - -л:«, Дл: = л:« - л:«-1, Ау+ = - у/, Ду- = у/ - yj-u Описанные в предыдущем разделе неявные схемы могут быть обоб-

У+ У

+ SI (7.28)

В последнем соотношении S/ - источниковый член. Приведем примеры наиболее часто встречающихся источниковых членов. В уравнении движения в проекции на ось х это член с градиентом давления dp/dx:

Ax+Ax •

Вязкий диссипативный член \х{ди/ду) является источииковым членом в уравнении энергии, если в качестве термодинамической неизвестной используется температура Т:

щены на случай неравномерной сетки аналогичным приведенному ниже методом.

При описании метода Дюфорта - Франкела решения уравнений движения и энергии воспользуемся обобщенным уравнением переноса (7.5). Неизвестная ф в этом уравнении может обозначать составляющую скорости, параметр модели турбулентности или термодинамическую переменную, такую, как температура или энтальпия. В схеме Дюфорта - Франкела устойчивость достигается исключением из диффузионного члена величины ф путем замены ее средним значением на (n-f 1)-м и (п-1)-м слоях. Однако Дэнси и Плетчер [Dancey, Pletcher, 1974] показали, что на неравномерной сетке более точные результаты получаются при линейной интерполяции ф между (п--1)-м и (п-1)-м слоями, а не при простом осреднении.

При использовании линейной интерполяции значение / определяется соотношением ф"} = (Ал:+/-f Ахф})/(Ах+ + AxJ). Как и раньше, мы предполагаем, что в случае турбулентных течений и и v - осредненные по времени значения соответствующих составляющих скорости. В случае сжимаемых течений V = v. Для построения более общей схемы положим, что Л = = Хт-{-К где V - коэффициент турбулентной диффузии. При использовании метода Дюфорта - Франкела конечно-разностный аналог обобщенного уравнения переноса имеет вид