Промышленный лизинг
Методички
Корректор (9.93) ([Л + ) (f л + ) ди-. = (диь (9.94) (9.95) В этих уравнениях Д;,, Д,, Уд; и обозначают обычные разности вперед и назад по пространству, а Д - разность вперед по времени Д Тогда выражение типа эквивалентно ДиГ/--g-A.([fi]AUr/). Вязкие члены в Е и F дискретизируются так же, как и в явной схеме Мак-Кормака. Матрицы [А] и [fi] имеют положительные собственные значения и связаны с матрицами Якоби [А] = = dE/dV и [5] = д?/дИ (как будет показано ниже). Без учета вязких членов и в предположении совершенного газа матрицы Якоби [А] и [В] можно диагонализировать: И]-[5,]-ЧАл][5.], [В] = [5„]-[Лв][5„], [5J = О О .0 о о о -ра О О О 1 О ра -ра -1/а 1 О 1 -1/а2 О 1 1 О О О -н/р -v/p ар 1 -и/р -v/p ар О О н + а О О и О О О -ыр О О и -а 1/р -ор о о о (9.96) (9.97) (9.98) (9.99) [Лв] = I» + а О О v - a (9.100) и а = («2-f-1;2)/2, p = Y-1, а = Vvp/P - скорость звука. Матрицы [А] и [В] отличаются от матриц [А] и [fl] тем, что их собственные значения все положительны и в них приближенно включен учет вязких эффектов. Эти матрицы определяются следующим образом: И] = [5.]- ШЫ [B] = [Sy]-[Ds][Sy], [Da] = [Db] =
л, = max rf,= max dAi= max dA,= max rfB,= max dBi= max dB,== max dB,= max l«l + -+).o.o]. « + + W «1 + , i , 2v 1 Ал: \ " 1И + 2v 2v LД£. ool (9.101) (9.102) (9.103) (9.104) Если в некоторой области течения удовлетворяет условиям устойчивости для явной схемы 1 Пи\ + а 2у -l-i \у\ + а 2 L Дч/ 2v 1-1 ТО с1а и de в соответствии с уравнениями (9.104) равны нулю и неявная схема Мак-Кормака сводится к своему явному аналогу. В противном случае для обеспечения устойчивости не обойтись без неявной части схемы Мак-Кормака. Результирующие разностные уравнения суть верхняя или нижняя блочные двухдиаго-нальные системы, которые легко решаются. Например, уравнение (9.91) можно записать в виде ([/]+т. /) ди:., = (ди?. /)ехр. + [ Л1?+.. / (9.106) Уравнение (9.106) есть верхняя блочная двухдиагональная система, которая может быть решена, если двигаться для каждого / в сторону уменьшения t. Определив Ди*,, / для всех (i,/), находим Дб/","/ из соотношения ([/] + т?.,) ДиЙ== ди:,, + ОТ. ,+,ДиЯ1ь (9.107) Последнее разностное уравнение также представляет собой верхнюю блочную двухдиагональную систему, которая может быть решена, если двигаться для каждого i в сторону уменьшения /. Чтобы показать, как решают уравнение (9.107) в некоторой точке (i,/), перепишем его в виде ([/] + [S,]- [Ds] [Sy]) ДиП = W, (9.108) где W есть правая часть уравнения (9.107), а [В]"/ заменено из [Зу]-[Ов][8у]. Уравнение (9.108) эквивалентно уравнению ([5,] + [Ds] [Sy]) ДиГ/ = [5,] W = X (9.109) ([/1 + 1 [Db]) [Sy] Ди?Т= X. (9.110) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 |