610 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье -Стокса Отсюда получаем уравнение

[Sy] AVV/ = ([/] + [Ds]) X = Y, (9.111)

которое решают как

AVVf = [SyrY. (9.112)

Процедуру решения уравнения (9.107) можно подытожить так:

1. W = Правая часть уравнения (9.107),

2. Х= [5,]W,

3. Y=J[/]+(A Ay)[DB])-%

4. AUr/ = [S,]Y.

Отметим, что обращение матрицы на шаге 3 тривиально, поскольку она диагональная. К тому же необходимую на шаге 4 матрицу [Sy]- легко получить из уравнения (9.98). Член

(А А/) [В]?, / AU?.V в W определяется теперь для следующей точки (i, /-1) в процедуре прохождения расчетной области с использованием равенства

5. -[fi]?./AUtV = W-AuS.

В начальной стадии некоторых расчетов может оказаться необходимым увеличение v для предотвращения возникновения неустойчивостей, вызываемых длительными процессами установления.

Неявная схема Мак-Кормака для уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости имеет второй порядок.точности как по пространству, так и по времени, при условии что vA/p(Aa:) и vA p(Ay)2 остаются ограниченными при стремлении Ал:, Ау и А к нулю. Основное достоинство этой схемы в том, что вместо обычной блочной трехдиагональной системы уравнений здесь решают блочную двухдиагональную систему. Недостаток схемы связан с трудностями в постановке граничных условий, отличных от граничных условий типа Дирихле.

§ 9.3. Уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости

Уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости можно получить из их аналога для сжимаемой жидкости, полагая жидкость несжимаемой (М = 0, а = со). Следовательно, в случае несжимаемой жидкости мы имеем частный случай уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости, и возни-

кает резонный вопрос: почему эти уравнения в том и другом случаях рассматриваются отдельно? Иными словами, почему нельзя пользоваться уравнениями Навье -Стокса для сжимаемой жидкости, чтобы рассчитывать течения несжимаемой жидкости? Главная причина этого состоит в том, что требуются чрезмерно большие затраты машинного времени, что в свою очередь обусловлено не только большей сложностью уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости по сравнению с их аналогом для несжимаемой, но и ограничением на шаг по времени. Для объяснения последнего фактора напомним, что в явных методах решения уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости шаг по времени ограничен условием устойчивости Куранта - Фридрихса - Леви

М <- , . (9.113)

Из этого следует, что стремится к нулю при приближении скорости звука а к бесконечности, что характерно для несжимаемой жидкости. Поэтому для расчета течения действительно несжимаемой жидкости таким способом потребуется бесконечно большое количество машинного времени. Неявные методы, такие, как схема Бима - Уорминга, допускают большие значения А/, но при этом ошибка аппроксимации становится слишком большой, поэтому его максимальное значение берут обычно в 5-10 раз меньше значения, задаваемого уравнением (9.113). Таким образом, даже при помощи неявной схемы практически невозможно рассчитывать течение действительно несжимаемой жидкости, применяя для этого уравнения Навье - Стокса для сжимаемой жидкости. Перейдем теперь к обсуждению методов решения уравнений Навье -Стокса для несжимаемой жидкости.

Уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами в отсутствие массовых сил и подвода тепла извне (см. гл. 5) записываются следующим образом:

Уравнение неразрывности

V. V = 0. (9.114)

Уравнение движения

p = -Vp + pV2V. (9.115)

Уравнение энергии

(>с, = т + Ф. . . . (9Л16)

дх ду

Уравнение движения по координате х

ди , ди , ди \ др , f дЧ . дН \ ,.

Уравнение движения по координате у

dv , dv , dv \ dp , { dv . dv\ ,

где V = p./p - кинематическая вязкость. Эти уравнения записаны относительно так называемых примитивных переменных р, и, V, В одном из самых распространенных методов решения уравнений Навье -Стокса для несжимаемой жидкости примитивные переменные заменяются на завихренность и функцию тока -ф. Мы обсудим этот метод решения в п. 9.3.1. Альтернативный метод состоит в решении уравнений (9.117) - (9.119) в том виде, в каком они записаны. Мы будем называть его подходом с использованием примитивных переменных и обсудим его в п. 9.3.2.

9.3.1. Подход с использованием завихренности и функции тока

Подход с использованием завихренности и функции тока в качестве независимых переменных является одним из самых распространенных методов решения двумерных уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости. В нем делают замену переменных, переходя от компонент скорости к завихрен-

Эти уравнения (одно векторное и два скалярных) образуют смешанную эллиптически-параболическую систему относительно неизвестных (V,р, Г). Отметим, что температура входит только в уравнение энергии, так что мы можем рассматривать это уравнение отдельно от других. Во многих приложениях изменение температуры либо незначительно, либо не представляет важности, поэтому нет необходимости решать уравнение энергии. Если же мы хотим определить распределение температуры, то это легко осуществимо, так как при уже рассчитанном поле V нестационарное уравнение энергии есть параболическое уравнение с частными производными. Имея это в виду, уделим основное внимание методам решения уравнений неразрывности и движения.

Запишем в декартовой системе координат двумерные уравнения Навье - Стокса (без уравнения энергии): Уравнение неразрывности

"+ = 0. (9.117)