f=vV (9.125)

Это параболическое уравнение с частными производными называется уравнением переноса завихренности. Одномерная форма этого уравнения

представляет собой одномерное адвективно-диффузионное уравнение, которое часто используется как модельное. Кроме того, для моделирования переноса завихренности можно использовать нелинейное уравнение Бюргерса. Фактически описанные в § 4.5 численные методы решения нелинейного уравнения Бюргерса можно применять для уравнения переноса завихренности.

Подставляя (9.123) в (9.122), получают дополнительное уравнение для независимых переменных и \)

+ S- = -S, (9.127)

V4 = -C. (9.128)

Это эллиптическое уравнение с частными производными является не чем иным, как уравнением Пуассона, Методы его решения обсуждались в § 4.3.

НОСТИ И функции тока г). В гл. 5 вектор завихренности был определен в виде

g = VXV. (9.120)

Его величина

S = iei = VXV (9.121)

в декартовых двумерных координатах есть

В этой же системе координат функция тока л) определяется как

Используя новые независимые переменные, два уравнения движения (9.118) и (9.119) можно скомбинировать (исключая из них давление), что дает

д ( ди\ . ( ди\ . дЧ . dv ди .

дифференцируя по у уравнение (9.119): f \ it dv\ , дЧ . ди dv , dv

lS + v(Vt;) (9.130)

и складывая результаты:

= V2p + v[--(V2«) + -(V2ti)]. (9.131)

В результате такой замены переменных мы смогли разделить смешанную эллиптически-параболическую систему уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости на одно параболическое уравнение (уравнение переноса завихренности) и одно эллиптическое уравнение (уравнение Пуассона). Обычно эти уравнения решают методом установления по времени, состоящим из следующих основных шагов:

1. В момент времени / = О задают начальные значения и г).

2. Решают уравнение переноса завихренности для в каждой внутренней точке расчетной сетки в момент времени t + М.

3. Решая итерационным методом уравнение Пуассона, находят новые значения -ф во всех точках сетки по новым значениям g во внутренних точках.

4. Находят компоненты скорости по соотношениям и = у и и = -г]);,.

5. Определяют значения на границах по значениям и г) во внутренних точках.

6. Если решение не сходится, то возвращаются к шагу 2.

По завершении только что описанной процедуры определяются компоненты скорости в каждом узле расчетной сетки. Для определения давления в каждом узле сетки необходимо решать еще одно уравнение, называемое уравнением Пуассона для давления. Последнее получают, дифференцируя по х уравнение (9.118):

Используя уравнение неразрывности, сведем уравнение (9.131) к виду

в терминах функции тока это уравнение можно переписать в виде I

V2p = S, (9.133)

где . / ,

-нтт)-{Ш]- <>

Таким образом, мы получили уравнение Пуассона для давления, аналогичное (9.128). Если S дискретизировать подходящим У

Ь4 h 3

Рис. 9.2. Расположение узлов сетки по нормали к поверхности плоской пластины, расположенной в плоскости у - 0.

образом, то все обсуждавшиеся в § 4.3 методы решения уравнения (9.128) будут применимы и к уравнению (9.133). Подходящая разностная аппроксимация второго порядка величины S задается следующим образом:

/=2р/, / уу-(д]Р-; 1,-ш-)

V xy J,

В случае стационарной задачи уравнение Пуассона для давления решают только один раз, т. е. после того как вычислены установившиеся значения £ и г). Если требуется определить только значение давления на стенке, нет необходимости решать уравнение Пуассона во всей области течения. Вместо него можно решать более простое уравнение для давления на стенке, которое получают, записывая уравнение движения в направлении, параллельном стенке, для жидкости, находящейся вблизи стенки. Пусть стенка расположена в плоскости у = О декартовой системы координат (рис. 9.2), тогда уравнение движения

(9.135)