при этом

y = VX\> (9.150)

ду dz

дг i дх ~ дх дг

ду дфх а; = -----

дх ду

После подстановки (9.150) в уравнение (9.120) получаем

VX(VX) = e. (9.151)

Так как векторный потенциал может быть выбран произвольно так, чтобы он удовлетворял условию

V.n) = 0,

уравнение (9.151) можно упростить, что дает

V4=-g. (9.152)

Это векторное уравнение Пуассона приводит к: трем скалярным уравнениям Пуассона, которые необходимо решать на каждом временном шаге. Аналогичным образом уравнение переноса завихренности в случае трехмерной задачи является векторным, которое распадается на три скалярных параболических уравнения для определения компонент завихренности t,xy t.y,

+ --""дх Уду дг

dly , dly dty dly dv dv dv

Таким образом, на каждом временном слое мы вынуждены решать три параболических и три эллиптических уравнения с частными производными. Поэтому при решении трехмерных задач подход с использованием завихренности и функции тока в каче-20*

ные задачи осложнено тем, что для действительно трехмерного течения нельзя ввести функцию тока. Однако в этом случае существует векторный потенциал [Aziz, Heliums, 1967] (не путать с потенциалом скорости)

= х1 + Ы + гК (9.148)

удовлетворяющий уравнению неразрывности

V.V = 0, (9.149)

dt* " дх* ду*" dz*

др* , 1 /av , , av\ .г-.,ч

стве независимых переменных не дает преимуществ по сравнению с подходом с использованием примитивных переменных.

Прежде чем перейти к обсуждению второго из только что упомянутых подходов, опишем кратко еще один, являющийся гибридом двух названных. В этом гибридном подходе зависимыми переменными являются компоненты вектора завихренности д:, t,y, и компоненты вектора скорости и, v, w. Компоненты вектора завихренности получают из решения уравнения (9.153), а компоненты вектора скорости определяют, решая следующее уравнение:

V2V = -VXe. (9.154)

Последнее векторное уравнение Ьолучают путем умножения уравнения, определяющего завихренность, на оператор V и упрощения полученного двойного векторного произведения VX(VXV)= VX

Агарвал [Agarwal, 1981] установил, что при использовании гибридного подхода нет необходимости в применении сетки с расположением узлов в шахматном порядке, что требуется в подходе с использованием примитивных переменных. К тому же постановка граничных условий проще в гибридном подходе, нежели в подходе с использованием векторного потенциала, описанного выше.

9.3.2. Подход с использованием примитивных переменных

Подход с использованием завихренности и функции тока в качестве независимых переменных теряет свою привлекательность, когда его применяют к трехмерным течениям, так как в этом случае не существует одной функции тока (как обсуждалось в предыдущем параграфе). Поэтому в трехмерных задачах уравнения Навье •-Стокса для несжимаемой жидкости решают также путем использования примитивных переменных и, v, w, p. В декартовой системе координат безразмерные уравнения Навье •- Стокса для несжимаемой жидкости в примитивных переменных имеют следующий вид:

Уравнение неразрывности

Уравнение движения по координате х ди* , * ди* , * ди* , * ди*

(9.159)

Одним из первых для решения уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости, записанных относительно примитивных переменных, был предложен метод искусственной сжимаемости [Chorin, 1967]. В этом методе в уравнение неразрывности включен член с искусственной сжимаемостью, который обращается в нуль, когда решение устанавливается во времени. При этом уравнения Навье - Стокса образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, которая решается обычным методом установления. Проиллюстрируем его на примере уравнений (9.155) - (9.158). Уравнение неразрывности заменяется следующим уравнением:

i£l4. + i£l + = 0, (9.160)

di* dx* dy* dz*

где р* - искусственная плотность и ?* - фиктивное время, аналог реального времени в течениях сжимаемой жидкости. Искусственная плотность связана с давлением так называемым искусственным уравнением состояния

Р* = р7Р, (9.161)

где р - коэффициент искусственной сжимаемости, который будет определен ниже. Отметим, что установившееся решение не

Уравнение движения по координате у dv* , . dv* , щ dv* . щ dv*

Уравнение движения no координате z dw* I * dw* . « dw* , * dw*

Эти уравнения приведены к безразмерному виду с использованием следующих соотношений: