Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

зависит от р и ?*, так как 5р*/?*0. После замены * на ?* в уравнениях (9.156) (9.158) и подстановки (9.161) в уравнение (9.160) мы можем дискретизировать полученные уравнения и решать их относительно ?* до тех пор, пока не наступит установление, что дает решение для несжимаемой жидкости. Очевидно, этот метод годится только для стационарных течений, так как не является точным по времени.

Для облегчения дискретизации уравнения (9.155) - (9.158) и (9.160) - (9.161) можно записать в следующей векторной форме:

ду* дг*

(9.162)

uv uw

p + {v)

.p + {wf

0 0

[D] =

1 0

0 1

0 0

(9.163)

В оригинальной работе Чорина для их решения используется схема Дюфорта - Франкела («чехарда» (см. п. 4.5.2)). Он получил для явной схемы такое условие устойчивости:

(9.164)

где iV -число пространственных измерений и Дп,- минимум (А.Г*, At/*, Аг*). Можно получить дополнительную связь между Д1* й р, замечая, что искусственное уравнение состояния (9.161) предполагает существование искусственной скорости звука а*:

а- = 1/р (9.165)



d г

р dx*

d Г

- («Ч+«\ + Х) + щ;{хх + + vU)

Так как максимальное искусственное число Маха Мтах, построенное по этой искусственной скорости звука, должно быть меньше единицы, получается следующее дополнительное соотношение:

= PV:nax<l, (9.166)

где Vmax - максимальное значение У*, выраженное в виде

V* = {uy + {v*) + {wy. (9.167)

Таким образом, для двух параметров Д?* и р следует задать значения, удовлетворяющие условиям (9.164) и (9.166). Можно увеличить скорость сходимости путем выбора оптимальных значений Д7* и р, но делать это следует методом проб и ошибок в каждой конкретной задаче. В большинстве случаев значение Мтах = 0.5 дает удовлетворительные результаты.

Обычно при решении уравнения (9.162) рекомендуется использовать неявную разностную схему. Для расчета завихренных следов в несжимаемой жидкости Стегер и Катлер [Steger, Kutler, 1976] применяли к уравнению (9.162) неявную приближенно факторизованную схему Бима - Уорминга (см. п. 9.2.3). Оказалось, что если р слишком мало, то приближенная факторизация вводит в решение большие ошибки.

Только что описанный метод искусственной сжимаемости является одним из методов решения уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости в примитивных переменных. В наиболее распространенном из них вместо уравнения неразрывности решается уравнение Пуассона для давления. Это делается для того, чтобы выделить в одно уравнение влияние давления, что позволяет соответствующим образом моделировать эллиптическую природу течения. Уравнение Пуассона для давления выводят точно так же, как и уравнение (9.131). Его можно записать в безразмерном виде

vv=s;-. (9.168)



И D* = tt*+ скорость относительного объемного расширения элементарного жидкого объема в данной точке, причем u\=diCldx*: Чтобы учесть различия между промежуточным решением и окончательным решением уравнения Пуассона по достижению сходимости, производную от скорости относительного объемного расширения полагают неравной нулю. Уравнение (9.168) впервые было использовано в методе маркеров и ячеек решения уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости [Harlow, Welch, 1965; .Welch et al., 1966].

В другом подходе [Ghia et al., 1977b, 1979, 1981] неявная схема переменных направлений применяется для решения уравнений движения (9.156) -(9.158), а уравнение Пуассона для давления решается методом последовательной верхней релаксации. В начале расчета градиенты давления в уравнениях движения задаются приближенно. После вычисления компонент скорости по уравнениям движения из уравнения Пуассона определяют давление. Затем рассчитывают градиенты давления и подставляют их значения в уравнения движения, по которым находят новые значения компонент скорости. Эта процедура повторяется до тех пор, пока решение не сойдется.

Таким способом были рассчитаны течения в полости и канале. В обеих задачах для уравнения Пуассона на границах задавался градиент давления в нормальном направлении др/дп, который вычислялся по соответствующему уравнению движения. Таким образом, для определения давления необходимо решать задачу Неймана, причем ее решение должно удовлетворять следующему интегральному требованию, вытекающему из теоремы Гаусса - Остроградского:

pdA = ds, (9.169)

где С -замкнутая граница области Л, в которой мы ищем решение, as - длина дуги вдоль С. Пока решение не установится, требование (9.169) точно удовлетворяться не будет. Для учета этого несоответствия источниковый член в уравнении (9.168) в каждой точке сетки можно подправлять на величину Д5/Л*, где

Sr=\\s;dA-ds (9.170)

А* с

и л*, п*, S* - безразмерные величины. В работах [Briley, 1974; Ghia et al., 1981] для получения решения задачи Неймана с успехом была использована дискретизация этого интегрального соотношения.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110