1 dv*

i,\ ду

(9.171)

Последнее можно дискретизировать, используя аппроксимации второго порядка с центральными разностями

р12-р1о 1 f <2"Ч l + I. 0 /а 1794

-щ- = v--)

где v* q - значение v* в фиктивном узле, которое можно опре-

i,4 i,3

i, 1

Рис. 9.4. Расположение узлов расчетной сетки при определении граничных условий для давления.

делить из уравнения неразрывности, принимающего на стенке следующий простой вид:

1=0. (9.173)

Аппроксимируя его с третьим порядком точности

11,,="""""в-,л:-Г""°"+°<->"°

вычислим v] Q, сохраняя при этом второй порядок в уравнении (9.172). Точно так же определяют градиенты давления на других границах при решении уравнения Пуассола для дав-

Чтобы показать, как вычисляется нормальный градиент давления на границе, поместим стенку в плоскости у = 0 (рис. 9.4). Под поверхностью стенки разместим слой фиктивных узлов (сетка обычная, а не с расположением узлов в шахматном порядке). На поверхности стенки уравнение движения по координате у (9.157) сводится к уравнению

Описанный в п. 8.4.1 метод SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations - полунеявный метод для связанных через давление уравнений) [Patankar, Spalding, 1972] для решения дозвуковых параболизованных уравнений Навье - Стокса можно также применять и в случае уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости (см. [Caretto et al., 1972; Patankar, 1975, 1981]). Этот метод имеет в своей основе циклическую повледовательность операций «предположение - коррекция» при решении уравнений. Используя некоторое начальное поле давления, сначала вычисляют компоненты скорости по уравнениям движения. Затем давление и компоненты скорости корректируются так, чтобы удовлетворить уравнению неразрывности. Этот процесс продолжают, пока решение не сойдется.

Истинное значение давления представляется в виде

Р = Ро + р\ (9.175)

где ро - вычисляемое (или промежуточное) значение давления, а р-корректирующая поправка. Аналогично истинные значения компонент скорости для двумерного случая представляются как

u = Uo + u\ v = Vo + v\ (9.176)

где tto, vo - вычисляемые (или промежуточные) значения компонент скорости, v - поправки к ним. Поправки к давлению связаны с поправками к компонентам скорости приближенными уравнениями движения

dt дх.

dt - ду

Так как поправки к компонентам скорости на предыдущей итерации считаются равными нулю, то последние уравнения движения можно переписать в виде

~ ду *

где А - приращение фиктивного времени, деленное на плотность. Подставим (9.176) в (9.178), а результат -в уравнение неразрывности. Тогда получаем

VV = 4-(V-Vo), (9.180)

где Vo - вычисленный вектор скорости. Это уравнение Пуассона можно решить относительно поправки к давлению. Заметим, что если вычисленный вектор скорости Vq удовлетворяет уравнению неразрывности в каждой точке, то и поправки к давлению р будут равны нулю в каждой точке. В описываемом алгоритме SIMPLE используется дискретная форма уравнения (9.180), как показано в работе [Raithby, Schneider, 1979].

В заключение можно сказать, что процедура SIMPLE состоит из следующих шагов:

1. Приближенно задать давление ро в каждом узле сетки.

2. Для нахождения компонент скорости Uq и Vq решить уравнение движения. Патанкар и Сполдинг рекомендуют использовать блочный итерационный метод на сетке с расположением узлов в шахматном порядке.

3. Решить уравнение для поправок к давлению (т. е. уравнение (9.180)), чтобы найти р в каждом узле сетки.

4. Подправить давление и компоненты скорости в соответствии с уравнениями (9.175) и (9.178):

Р = Ро + р*

5. Заменить предыдущие промежуточные значения давления и компонент скорости Uo, Vo, Ро новыми скорректированными значениями р, и, v и вернуться к шагу 2. Повторять этот процесс, пока решение не сойдется.

Процедура SIMPLE с успехом была использована для решения целого ряда задач расчета течений несжимаемой жидкости. Однако в некоторых случаях скорость сходимости оказалась недостаточно быстрой. Это связано с тем, что уравнение для поправок к давлению дает завышенные значения даже если соответствующие поправки к компонентам скорости вполне правдоподобны. Поэтому уравнение (9.175) часто заменяют уравнением р = ро + 0Lpp\ где ар - параметр нижней релаксации. По этой же причине в уравнениях движения также используется нижняя релаксация. В описываемой постановке задачи нижнюю релаксацию можно осуществлять, варьируя параметр А в уравнениях (9.178) и (9.180).