Поскольку сразу невозможно определить оптимальное значение параметров нижней релаксации, процедура SIMPLE была модифицирована с целью увеличения скорости сходимости [Patankar, 1981]. Модифицированная процедура получила название SIMPLER (SIMPLE revised). В ней поправки к скорости вычисляются так же, как и в процедуре SIMPLE, но используются полные уравнения Пуассона для давления. Кроме того, сначала приближенно задается поле скорости, а не поле давления. Так как вычисляемое в процедуре SIMPLER давление близко к правильному, то необходимость в нижней релаксации становится заметно менее настоятельной и сходимости решения добиваются за меньшее число итераций. В большинстве случаев совокупные затраты машинного времени снижаются на 30-50 %, несмотря на то что SIMPLER требует примерно на 30 % больше вычислений на одной итерации, чем SIMPLE.

Задачи

9.1. Покажите, как дискретизируются все члены уравнения движения по координате у, когда явная схема Мак-Кормака используется для решения двумерных уравнений Навье -Стокса для сжимаемой жидкости.

9.2. Решите задачу 9.1 для двумерного уравнения энергии.

9.3. Дискретизируйте уравнение движения по координате г в случае применения явной схемы Мак-Кормака для уравнений Навье - Стокса, записанных в цилиндрической системе координат (см. п. 5.1.7).

9.4. В задаче 9.1 используйте схему Аллена -Чена вместо схемы Мак-Кормака.

9.5. Выпишите матрицу Якоби [Л], заданную уравнением (9.46).

9.6. Выпишите матрицу Якоби [В], заданную уравнением (9.48).

9.7. Выпишите матрицу Якоби [R\ заданную уравнением (9.51).

9.8. Выпишите матрицу Якоби [S], заданную уравнением (9.54).

9.9. Выпишите матрицу [Р]-[л:], заданную уравнением (9.50).

9.10. Выпишите матрицу [Q]-[S,], заданную уравнением (9.53).

9.11. Определите множитель перехода для явной схемы Мак-Кормака, применяемой к линеаризованному уравнению Бюргерса. Удовлетворяет ли уравнение (9.86) условию G 1 для всех значений р, когда v = V2 и

9.12. Решите задачу 9.11 для v = 1 и г = 72-

9.13. Воспользуйтесь неявной схемой Мак-Кормака для решения линеаризованного уравнения Бюргерса с начальным (л:, 0) = О, О х 1 и граничными w(0, О = 100, u(\J) = О условиями на сетке, состоящей из 21 узла. Найдите установившееся решение для г = 0.5, v = 0.5 и сравните численное решение с аналитическим.

9.14. Выпишите м.атрицу Якоби [Л] в уравнении (9.96) и покажите, что она равна [5x]-[A][SJ.

9.15. Выпишите матрицу Якоби [В] в уравнении (9.96) и покажите, что она равна [.54,]-[Лв][54,].

9.16. Выведите уравнение (9.124).

9.17. Решите задачу о квадратной полости для Re/ = 50. Воспользуйтесь схемой ВВЦП для решения уравнения переноса завихренности и методом последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона. Используйте сетку размером 8 X 8 и аппроксимацию первого порядка для завихренности на стенке.

9.18. Решите задачу 9.17 для Re/ = 100 на сетке 15 X 15.

9.19. Выведите уравнение переноса завихренности для трехмерной декартовой системы координат.

9.20. Используйте метод искусственной сжимаемости для решения задачи течения в полости квадратной формы при Rei = 100. Воспользуйтесь схемой Дюфорта - Франкела («чехарда») для решения определяющих уравнений на сетке размером 15X15. Определите давление на стенке, подходящим образом аппроксимируя записанное на стенке уравнение движения в направлении по нормали.

§ 10.1. Введение

Решение системы дифференциальных уравнений с частными производными можно значительно упростить применением хорошо построенной расчетной сетки. Верно и другое, что расчет на сетке, не очень хорошо соответствующей данной задаче, может дать неудовлетворительный результат. В некоторых приложениях неадекватный выбор размещения узлов расчетной сетки может приводить к неустойчивости или отсутствию сходимости. Одной из центральных проблем при численном решении уравнений с частными производными является построение расчетных сеток.

Ранние работы по конечно-разностным методам были ограничены задачами, для которых можно было подобрать подходящую систему координат и в ней решать определяющие уравнения. По мере накопления опыта расчетов сложных полей течений стали применять преобразования координат общего вида для отображения физической области на вычислительную. Этот путь весьма многообещающий. Например, поверхность тела может быть выбрана в качестве границы вычислительной плоскости, что облегчает постановку граничных условий на поверхности тела. Обычно эти преобразования применяют, когда хотят получить равномерную сетку в вычислительной плоскости, хотя узлы сетки в физическом пространстве могут быть расположены неравномерно. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 10.1. Когда выполняют преобразование координат, то дифференциальное уравнение принимает вид, куда входят метрические коэффициенты преобразования. Это можно понять на следующем простом примере.

Пример 10.1. Пусть мы решаем такое простое уравнение

дх ду

в некоторой области с соответствующими начальными и граничными условиями. Поскольку вычисления обычно производятся в вычислительной области, то преобразование, связывающее