§ 10.1. Введение

физическую и вычислительную области, можно задать следующим образом:

1 = 1{х, у), г\ = г\{х, у).

Исходное дифференциальное уравнение с частными производными при переходе от физических координат л:, у к координатам в вычислительной плоскости g, т преобразуется при помощи правила дифференцирования сложной функции

~ дг\

дх ди

ду ~ dl

ди i ди = -дГУ + -дУ

Тогда оно принимает вид ди

(I, + с1у) + {г\х + сг)у) + у{1ц) = 0.

(10.1)

(10.2)

Это уравнение решается в вычислительной плоскости на равномерной сетке. Понятно, что необходимо установить связь меж-

(а) (Ь)

Рис. 10.1. Отображение физической плоскости на вычислительную: (а) физическая плоскость; (Ь) вычислительная плоскость.

ду координатами в физической и вычислительной плоскостях. Эту связь и задают метрические коэффициенты преобразования (члены 1ху 1уу Цх 1 г[у в рассматриваемом уравнении с частными производными).

Задача построения расчетной сетки заключается в нахождении отображения, которое переводит узлы сетки из физической области (D) в вычислительную область (CD). Это отображение должно удовлетворять некоторым требованиям. Можно назвать некоторые из них:

1. Отображение должно быть однозначным.

2. Линии сетки должны быть гладкими, что обеспечивает непрерывность производных,

3. Сетка должна быть достаточно густой в тех частях области D, где ожидают возникновения больших численных ошибок.

4. Следует избегать излишней скошенности ячеек сетки, которая, как было показано [Raithby, 1976], иногда приводит к чрезмерной ошибке аппроксимации.

Построение расчетных сеток в случае одного измерения сравнительно просто. Имеется много функций (либо других методов), которые можно использовать для построения сетки. К тому же в одномерных задачах не возникает проблема границ сложной формы. Поэтому большинство исследований, касающихся вопросов построения расчетных сеток, было выполнено для случая двух измерений. В настоящей главе будет приведено много примеров для случая двух измерений. Построение расчетных сеток в пространстве трех измерений является трудной задачей и существует не так много методов, дающих удовлетворительные результаты.

Методы построения расчетных сеток грубо можно разделить на три класса:

1. Методы теории функций комплексного переменного.

2. Алгебраические методы.

3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений.

Методы теории функций комплексного переменного обладают тем преимуществом, что используемые в них преобразования являются полностью или частично аналитическими. К сожалению, применение этих методов ограничено случаем двух измерений, и по этой причине в нашей книге они рассматриваться не будут.

Желающих ознакомиться с приложениями этих методов отсылаем к работам [Churchill, 1948; Moretti, 1979; Davis, 1979]. Алгебраические методы и методы, основанные на решении дифференциальных уравнений, можно применять в сложных трехмерных задачах. Из всех методов построения расчетных сеток эти два являются самыми многообещающими и широко распространенными. В настоящей главе будут рассмотрены приложения этих методов и приведены примеры построения расчетных сеток.

§ 10.2. Алгебраические методы

Для адекватного разрешения вязкого пограничного слоя размещение узлов сетки вблизи твердых границ мы задавали В гл. 5 при помощи алгебраических выражений. В другом при-

мере было использовано нормализующее преобразование области, чтобы сообразовать размещение узлов сетки с положением поверхности тела и ударной волны в физическом пространстве. Все это примеры простых алгебраических отображений. При построении сетки таким способом используются известные функции в одном, двух или трех измерениях, чтобы перевести физическую область произвольной формы в прямоугольную вычислительную область. Хотя вычислительная область и не обязательно должна быть прямоугольной, обычно простоты ради применяются именно прямоугольные области.

а:=1

Рис. 10.2. Конфигурация сопла.

Простейшая процедура, пригодная для построения адаптированной к границе области расчетной сетки, есть обсуждаемое в § 5.6 нормализующее преобразование.

Пусть необходимо построить сетку для расчета течения в расширяющемся сопле, изображенном на рис. 10.2. Положение стенки сопла задается функцией

У = а:2, 1.0<а:<2.0.

(10.3)

В этом примере сетку легко построить, выбирая постояннным шагом по координате х и деля каждый отрезок между осью сопла и стенкой на одинаковое количество частей. Эта процедура описывается следующими зависимостями:

1 = Х, Т) = у/Утах, (10-4)

где Утах{х) - уравнение стенки сопла. При этом значения х и у легко находят по заданным значениям и т]. Построенная в физической области сетка изображена на рис. 10.3.

Следует быть внимательным при расчете метрических коэффициентов преобразования. В частности производные г]х и Г]у