Диссипативный член Сор{)/1 является источниковым членом в модельном уравнении для кинетической энергии турбулентности

Sf=Co9![-x:tw-J I,-1г;+кг-

Отметим, что последнее выражение записано так, чтобы в него не входило значение k в узле (п, /) разностной сетки. Это необходимо для обеспечения устойчивости разностной схемы (см. [Malik, Fletcher, 1978]). Необходимость такой записи диссипа-тивного члена можно было предвидеть заранее, учитывая указанный выше способ аппроксимации диффузионного члена.

Мы уже указывали (гл. 4), что схема Дюфорта - Франкела явная. Хотя неизвестная /" фигурирует и в левой, и в правой частях разностного уравнения (в правой части по определению величины это уравнение можно преобразовать так, чтобы выделить неизвестную Ф\ Тогда мы получим уравнение вида Г= (все известные величины на д-м и {п-1)-м слоях). Формально при Ах+ = Ал: и Ау+ = Ау- погрешность аппроксимации равна 0{Ах) + 0{Ау) + 0{Ах/Ау), Однако главный член в выражении для погрешности аппроксимации 0{Ах/Ау) на самом деле равен (Ах/Ау){дф/дх), а в случае пограничного слоя предполагается, что производная дф/дх мала.

Можно показать, что при использовании неравномерных сеток погрешность аппроксимации обычно возрастает, хотя в работе Блоттнера [Blottner, 1974] указаны некоторые исключения из этого правила. Такое снижение точности аппроксимации будет характерно для всех описанных в этой главе методов расчета пограничного слоя. На практике можно пренебречь увеличением погрешности, связанной с использованием неравномерной сетки. Почти всегда можно указать способ, восстанавливающий первоначальную точность аппроксимации за счет увеличения числа алгебраических операций. Например, Хонг [Hong, 1974] показал, что если производную по маршевой координате дф/дх записать при использовании метода Дюфорта - Франкела в виде

Axx\ + xx\

то второй порядок аппроксимации будет достигнут и прц Ах+ Ф Ах-.

По-видимому, это условие можно использовать для грубой оценки устойчивости схемы и при переменном шаге сетки Ау, На практике оно не накладывает сколь-нибудь серьезных ограничений на размер шага по маршевой координате, вероятно, вследствие того, что отношение v/u обычно мало, а второй член в знаменателе пропорционален разности коэффициентов диффузии, а не самим этим коэффициентам.

Условие устойчивости было получено методом Неймана, при этом коэффициенты уравнения локально рассматривались как константы. Интересно отметить, что неравенство (7.30) следует непосредственно из условия устойчивости Куранта - Фридрихса - Леви, а не из ограничений, связанных с диффузионным членом в уравнении движения пограничного слоя. Это становится очевидным, если диффузионный член д/ду{Хдф/ду) представить как сумму двух членов и переписать уравнения пограничного слоя в виде

ри ду ) ду ~ рм ду рм

дх рм ду ) ду ри ду рм

Теперь простое применение условия КФЛ приводит к неравенству (7.30).

Расчет пограничного слоя начинается с задания начального распределения переменной ф. Так как при использовании схемы Дюфорта - Франкела надо иметь информацию о решении на двух слоях по маршевой координате, то необходимо каким-либо другим методом получить решение хотя бы на одном слое, прежде чем схема Дюфорта - Франкела сможет быть применена. Чаще всего эти начальные значения определяют, используя простую явную схему. Обычно при расчете пограничного слоя надо найти решение уравнений движения, неразрывности и энер-

Соответствующая конечно-разностная аппроксимация уравнения неразрывности может быть записана в виде

n+L.rt+l л-и."-! 1 п-1,,п-\

Р/ / -Р/-1/-1 Р/ -Р/ +P/-1/-1 -Р~1/Ц/~1

Аг/ 2(Л;с+Л;с ) - •

(7.29)

Погрешность аппроксимации составляет в этом случае 0{Ах)+0{Ауу.

Анализ устойчивости, проведенный для случая Ау = const [Madni, Pletcher, 1975а, 1975b], приводит к условию устойчивости

,<>....J\ (7.30)

гии. Эти уравнения можно решать независимо, начиная с уравнения движения. Обычно расчет начинают с вычисления продольной составляющей скорости в ближайшем к стенке узле сетки и движутся к внешней границе пограничного слоя. Предполагается, что внешняя граница достигнута, если полученная в ходе расчета продольная составляющая скорости отличается от заданной скорости на внешней границе не более чем на некоторую заранее выбранную величину. Аналогично можно решить уравнение энергии и определить термодинамическую неизвестную. Плотность в новом сечении можно определить из уравнения состояния. И наконец, уравнение неразрывности используется для получения нормальной составляющей скорости на (п + 1)-м слое, начиная от ближайшего к стенке узла и двигаясь к внешней границе пограничного слоя.

По-видимому, наиболее привлекательным свойством схемы Дюфорта - Франкела является ее явный характер. Те, кто не имеет опыта применения численных методов, обычно более комфортабельно чувствуют себя при программировании явных, а не неявных разностных схем. Вторым важным свойством рассматриваемой схемы является то, что никакой дополнительной линеаризации, итераций или предположений для вычисления коэффициентов уравнений не требуется, так как в уравнения входят значения коэффициентов на п-м слое, где они уже известны. Остальные подробности, связанные с применением методов типа Дюфорта - Франкела к расчету пристенных пограничных слоев, можно найти в работах Плетчера [Fletcher 1969, 1970, 1971].

7.3.5. Блочный метод Келлера и модифицированный блочный метод

Блочный метод Келлера [Keller, 1970] решения параболических уравнений в частных производных был модифицирован для расчета турбулентных пограничных слоев Келлером и Це-беци [Keller, Cebeci, 1972] и подробно описана в работе [Cebeci, Smith, 1974]. Это неявный метод, имеющий формально второй порядок точности, он отличается от других неявных методов второго порядка точности тем, что шаги сетки с самого начала полагаются произвольными. Вторые производные заменяются первыми; для этого вводятся дополнительные неизвестные (и дополнительные уравнения). Рассматриваемый метод приводит к более сложным алгебраическим уравнениям, чем большинство других методов решения уравнения теплопроводности, поэтому он не был описан в гл. 4.

Сначала мы обрисуем блочный метод Келлера в общих чертах, для того чтобы показать его основное отличие от других ме-