Промышленный лизинг
Методички
на вычислительную плоскость. В этом случае для верхней и нижней границ можно записать Хв1 = Xl (I) = I, Ув1 = Ух (I) == О, ХВ2 = 2 (Ю = УВ2 = У2 = 1 + I. Это приводит к отображению, заданному уравнениями (10.12) и имеющему вид х = 1у у = {\+1)ц. (10.13) Такая параметризация дает простое нормализующее преобразование, обсуждавшееся выше. В этом примере и правая, и левая границы также отображаются корректно. Так получилось случайно, и в более общих случаях этого не происходит. Выбирая нелинейную функцию при параметризации уравнения, задающего границу, можно получить другое распределение узлов сетки. Например, если Хх = 1, Х2 - то а:=2, у=т)(1 + 2). Если используются полиномы третьей степени, то вид преобразования становится таким: х = х, (I) h (т)) + X, (I) h (л) + (I) fa (т)) + (I) /4 (л), 7 7 (10.14) у = ух (I) h (Л) + У2 (I) /2 (л) + (g) h (Л) + (S) и (л), Л(т)) = 2т13-3л2+и /2(Л) = -2Л + Зт)2, /з(л) = л-2т)2 + л, /4(Л) = Л-Л. То, что в выражение для преобразования входят производные от функций, задающих границы в физической плоскости, делает отображение более гибким. Например, можно добиться ортогональности сетки на границе в физической плоскости [Kowalski, 1980]. В большинстве задач границы задаются не аналитическими функциями, а просто набором точек. В этом случае, чтобы выполнить отображение, граница должна быть аппроксимирована подходящей кривой. Айсман и Смит [Eiseman, Smith, 1980] обсуждают возможные способы реализации этого и рекомендуют напряженные сплайны, так как аппроксимации более высокого порядка, включая кубические сплайны, дают волнистость на границах. Посредством параметра натяжения напряженного сплайна можно управлять этим явлением. Описанный в данном разделе метод двух границ (или двух поверхностей) является только одним из алгебраических методов построения расчетных сеток. Применяются и другие методы этого типа, например метод многих поверхностей [Eiseman, 1979]. Он аналогичен методу двух поверхностей, но определяет структуру сетки на любом количестве промежуточных контрольных поверхностей. В последнее время большое внимание уделяют методу трансфинитной интерполяции [Gordon, Hall, 1973], который подробно описан в работе [Rizzi, Eriksson, 1981] и напоминает метод двух поверхностей, когда координаты и производные задаются на границах. Основное преимущество использования алгебраических отображений состоит в том, что они являются прямыми и метрические коэффициенты можно вычислять аналитически. К тому же их можно применять в трехмерных задачах. Требуется, правда, проявить изобретательность, чтобы получить сетку с адекватным размещением узлов. § 10,3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений В предыдущем параграфе были описаны алгебраические методы построения расчетных сеток. Приемлемой является любая процедура, применение которой приводит к построению пригодной сетки. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений, относятся к числу самых развитых. При использовании дифференциального уравнения для построения сетки можно учесть свойства решения этого уравнения. Для этой цели часто применяют уравнения Лапласа и Пуассона. Причину выбора уравнения Лапласа лучше можно понять, если рассмотреть задачу стационарной теплопроводности в двух измерениях с граничными условиями Дирихле. Решение этой задачи дает гладкие (вторые производные существуют и непрерывны) и непересекающиеся изотермы. Число изотерм в данной области может быть увеличено добавлением источникового члена. Если изотермы брать за линии сетки, последние будут гладкими и непрерывными. Величиной источникового члена можно управлять их сгущением в любой области. Томпсон и др. [Thompson et al., 1974] много работали над применением эллиптических уравнений с частными производными для построения сеток. Эта процедура аналогична той, которую использовал Уинслоу [Winslow, 1966]; она преобразует физическую плоскость в вычислительную, причем отображение осуществляется в соответствии с уравнением Пуассона. Это отображение строится требуемым заданием точек сетки (л:, у) на границе физической области. Тогда распределение внутрен- § 10.3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений 639 НИХ узлов определяют из решения уравнений где g, ri - координаты в вычислительной области, а через члены Р и Q осуществляется управление размещением узлов внутри D. Затем в уравнениях (10.15) за независимые переменные принимают координаты i, г\ в вычислительной плоскости, после чего мы имеем систему двух эллиптических уравнений вида Уц - 2pf/, + Yf/,, = -Я {РУг + Qy,), « = 4 + Р = h\ + УгУг, Y = 4 + у1 J- д(Ху у) Эту систему решают на равномерной сетке в вычислительной плоскости (g, п), что дает координаты (л:, у) каждого узла в физическом пространстве. Для простых связных областей граничные условия Дирихле могут быть использованы во всех точках границы. Такой метод построения сетки имеет много достоинств. Сетка получается гладкой, преобразование однозначным, а границы сложной формы легко обрабатываются. Конечно, метод имеет и свои недостатки. Задание Р и Q является непростой задачей, трудно управлять размещением узлов сетки во внутренней части, да и границы области могут изменяться со временем. В последнем случае сетка должна перестраиваться после каждого шага по времени, что может приводить к большим затратам машинного времени. Простой пример приложения метода Томпсона изображен на рис. 10.5. Область между двумя концентрическими окружностями отдбражается на прямоугольник в вычислительной плоскости. На рисунке показаны полученные в результате расчета линии постоянства и т] в физическом пространстве. Внутренняя окружность имеет радиус Го, наружная - радиус гь В этой задаче окружности разрезают по радиусу 0=0 и внутренность между ними отображается на прямоугольник с изменениями координат" от 1 до Imax И ОТ 1 ДО Т]тах В ВЫЧИСЛИТСЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ. Здесь отображение определяют из уравнений Лапласа V2 = 0, У2т) = 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 |