§ 10.3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений 643

Собственные значения матрицы [В]-! должны быть вещественными, если система гиперболическая в направлении ц. Они равны

х1 + у1

(10.28)

Последнее равенство доказывает, что уравнение (10.26) гиперболическое по координате ri и его можно решать маршевым методом по направлению г\ до тех пор, пока Ц + у\ф 0.

В описываемой процедуре построения сетки предполагается, что поверхность г] - 0 совпадает с поверхностью тела и вдоль

Рис. 10.6. Вычисление площади элементарной ячейки вблизи поверхности:

(а) сетка в физической области; (Ь) сетка в вычислительной плоскости с заданной площадью ячейки.

нее задано распределение узлов сетки. Далее требуется определить / в уравнении (10.21). Стегер и Соренсон предлагают это делать, строя прямую линию длиной, равной длине тела / вдоль поверхности, и снося на эту прямую распределение узлов, заданное на поверхности тела. Затем проводят следующую линию т = const, параллельную первой, как это требуется. После чего величину / легко определяют по значению площади ячейки сетки. На рис. 10.6 иллюстрируется эта процедура. Теперь систему уравнений (10.27) решают, как это обычно принято для гиперболических уравнений.

Рис. 10.7. Расчетная сетка, построенная вокруг профиля.

рис. 10.7 показана сетка, построенная вокруг типичного профиля. Здесь расположение точек вблизи тела позволяет разрешить вязкий пристенный слой.

Из обсуждения представленных в этом разделе методов становится ясно, что можно предложить неограниченное число схем построения сеток. Приемлема любая система уравнений, решение которой дает пригодную сетку. Все описанные выше методы требуют, чтобы расположение узлов сетки было известно прежде, чем мы приступим к решению уравнений с частными производными, описывающих течение жидкости. В следующем разделе мы приведем несколько соображений относительно построения сетки, при котором размещение ее узлов является частью решения всей задачи расчета течения.

§ 10.4. Адаптивные сетки

В предыдущем разделе были представлены методы построения расчетных сеток, которые характерны тем, что сама процедура построения предваряла численное решение уравнений с

Поскольку в этом методе мы задаем величину /, то гладкую сетку удается построить, если только / удачно подобрано. И наоборот, неудачный выбор / может привести к изломам или распространению по сетке информации о положении граничных узлов с искажениями. К тому же имеющиеся на границе разрывы данных передаются на такой сетке. С другой стороны, этим методом сетка строится быстро и является ортогональной. На

В вычислительной плоскости т, g это уравнение примет вид

+ (g. + y-§ = 0, (10.30)

частными производными. Одна из трудностей решения уравнений с частными производными на фиксированной сетке заключается в том, что ее узлы размещаются в физической области до того, как станут известны подробности решения. Вследствие этого сетка может оказаться не самой лучшей для данной конкретной задачи.

Термин «самая лучшая» нуждается в пояснении. Во многих задачах представляют интерес подвижные и подстраивающиеся к изменениям формы области сетки. Пример тому задача сверхзвукового обтекания затупленного тела. Обычно скачок выделяется как граница, и такая граница изменяет со временем свое положение, когда требуется получить установившееся решение определяющих уравнений. В этом случае перемещение узлов внутри области может быть масштабировано по движению границы и это дает приемлемые результаты. Во многих задачах такой подход является достаточным. В других задачах мы хотели бы изменять положения узлов сетки, чтобы добиться адекватного разрешения поля течения как при неподвижных, так и подвижных границах. Это удобно потому, что мы можем сгущать узлы сетки в областях больших градиентов параметров потока, заранее ничего не зная о решении. Такие области возникают часто в результате большого изменения масштабов длины поля течения. Конечно, должна быть разработана подходящая методика адаптации сетки.

Лучше всего осуществлять адаптацию сетки таким образом, чтобы при этом уменьшалась ошибка в решении. Руководствуясь этим соображением, можно изменить положение некоторых узлов сетки с тем, чтобы получить «наилучшее» решение, используя некоторый выбранный способ измерения ошибки. Обычно это снимает вопрос о разрешении решения, так как там, где возникают большие ошибки при использовании неподвижной сетки, и требуется высокое разрешение. В этом параграфе мы приведем примеры схем с адаптивными сетками с целью рассмотрения вопросов разрешения и уменьшения ошибки.

Когда речь идет о методике построения адаптирующейся к решению сетки, следует иметь в виду два момента. Для того чтобы их понять, вновь обратимся к простому одномерному волновому уравнению

+с = 0. (10.29)