когда преобразование задается следующим образом:

х = и S = l( X). (10.31)

В уравнении (10.30) коэффициенты It и 1х задают связь между физической и преобразованной плоскостями. Они используются для определения преобразования, связывающего две эти области. Если разрешить уравнения (10.31) относительно Хх и jc, то получим

h=b =-Ь (0.32)

Величины Хх и х суть скорость движения узлов сетки и расстояние между узлами в физическом пространстве.

Один из методов построения адаптивных сеток [Dwyer et al., 1979, 1980; Klopfer, McRae, 1981a] состоит в том, чтобы задавать положения узлов после каждого шага интегрирования или после выполнения некоторого числа шагов. В соответствии с этим значения х или координаты узлов в физическом пространстве могут быть заданы там, где этого требует критерий разрешения или какой-либо еще. Так как х тогда становится известным, то известна и величина Ъ,х, а Хх получается при помощи центральных разностей. После чего вычисляют и, таким образом, все, что нам необходимо для интегрирования уравнения (10.30), мы имеем. В этом методе скорость узлов сетки рассчитывается с запаздыванием.

Другой способ построения адаптивных сеток заключается в постулировании закона, задающего скорость движения узлов сетки. В нем в качестве определяющего критерия можно использовать разрешение, ошибку в решении или что-либо еще. Удобно задавать в вычислительной плоскости. В любой момент времени величина \t известна, и скорость узлов сетки в физическом пространстве Хх получают из уравнений (10.32). Зная Хху ее можно интегрировать совместно с определяющим уравнением, что дает новые положения узлов сетки. Достоинство этого метода состоит в том, что вычисления положения узлов сетки и их скорости совпадают по времени (нет отставания по времени при вычислениях этих величин).

Существуют самые разнообразные подходы к построению адаптивных сеток. Однако внимательное рассмотрение идей, положенных в их основу, показывает, что они во многом сходны. В следующем разделе кратко будут описаны вариационный метод, методы эквираспределения и задания скорости. Будут приведены некоторые результаты, полученные с использованием адаптивных сеток.

Мера ортогональности определяется интегралом

/,= С (V. Vri)2y3rfK (10.34)

и мера объема элементарной ячейки рассматриваемой сетки - интегралом

wJdV, (10.35)

где W - некоторая заданная весовая функция.

Преобразование, связывающее d и CD, определяется минимизацией линейной комбинации трех выписанных выше интегралов. Эта линейная комбинация с множителями и Kq записывается в следующем виде:

/ = /s + V. + Vo. (10.36)

Чтобы минимизировать /, необходимо составить уравнения Эйлера- Лагранжа [Weinstock, 1952]. Например, для меры гладкости можно записать

;,= 55(4±4+ii±A),,. (,0.37)

используя в качестве независимых переменных координаты в вычислительной плоскости. Составим уравнения Эйлера - Лагранжа для Is.

( д д д д д \(4+А+у1+у1) (

\дх dl dxi дх дхг,}\ J )

(Jl J d д д \(4 + А + !>1 + АЛг.

10.4.1. Вариационный метод

Брэкбилл и Зальтцман (Brackbill, Saltzman, 1980; Brackbill, 1982] разработали новый метод построения адаптивных сеток с использованием вариационного подхода. При помощи вариационных принципов в нем минимизируется функция, включающая в себя меры гладкости, ортогональности и объема. Мерой гладкости преобразования может служить интеграл

Is=\mY + {]dV. (10.33)

Если выполнить дифференцирование, то эти уравнения можно переписать следующим образом:

А {ах - 2х + ух - В {ау - 2ру + уу J = 0,

-В {ахп - 2pxg, + + С(at/gg - 2у + уу) = 0.

Коэффициенты Л, В, С, а, р и 7 суть функции метрических коэффициентов. Мы предлагаем читателю выписать их в качестве упражнения (см. задачу 10.16). Если В -ЛСО, то

ах2х + ух = 0у

Эти уравнения определяют отображение, предложенное Уинслоу и являющееся основой работ авторского коллектива во главе с Томпсоном. Если минимизируется,/, определяемое уравнением (10.36), то каждый из интегралов h и /о дает свой вклад в уравнения Эйлера - Лагранжа для функционала (10.36), которые имеют в этом случае значительно более сложный вид, нежели уравнения (10.40).

Вариационный подход подводит надежную математическую основу под процедуру построения сетки, но приводит к необходимости решать большее число уравнений в частных производных. Приходится помимо определяющих уравнений движения жидкости решать еще и уравнения Эйлера - Лагранжа для функционала. В приведенном здесь примере адаптивную сетку строят, выполняя перестроение после каждой итерации или после каждого шага по времени, при этом скорость узлов вычисляют по разностям назад. Вариационный подход является мощным инструментом построения расчетных сеток. К его недостаткам следует отнести большую трудоемкость, обусловленную необходимостью .решения уравнений, определяющих генерацию сетки. Если используется линейная комбинация интегралов типа (10.36), необходимо еще и подбирать коэффициенты К. Однако, подбирая их подходящим образом, удалось получить отличные результаты.

10.4.2. Метод эквираспределения

Во многих приложениях адаптивных сеток требуется перемещать узлы сетки в одном направлении. Поэтому рассмотрим минимизацию функционала /и, определяемого уравнением (10.35), для одномерного случая

I„=wxdx, (10.41)