= WJ(lM)rfl/ J (IM)rfl. (10.45)

(10.46)

Положение узлов сетки в физической плоскости определяется по уравнению (10.45), как и в работе [Gnoffo, 1980]. В этой работе закон движения узлов сетки вдоль одной координаты использовался при решении уравнений Навье-Стокса с той лишь разницей, что в выражение для весовой функции входили только первые производные зависимой величины.

Уайт [White, 1982] использовал идею эквираспределения при решении одномерных задач. В его работе закон эквираспределения был сформулирован так: произведение длины дуги и ве-

Уравнение Эйлера - Лагранжа для этого функционала имеет вид

Брэкбилл и Зальтцман проинтегрировали уравнение (10.42) и получили

wxl = Ci%nnH , /w x = WiX = Ci. (10.43)

Отсюда видно, что произведение шага сетки и весовой функции должно оставаться постоянным в физическом пространстве (закон постоянства Wix вдоль линий сетки назван «эквираспреде-лением). В свою очередь уравнение (10.43) можно проинтегрировать и получить координаты либо в физической плоскости, либо в вычислительной. Пусть а: = 0 при = 0 и х = Хтах при 1 = 1тах. Тогда интегрирование уравнения (10.43) дает либо координату в вычислительной плоскости

X 1 *тах

l = lmax\widx 5 widx, (10.44)

либо координату в физической плоскости

о: I о

Уравнение (10.44) было использовано в качестве закона построения адаптивной сетки в работах [Dwyer et al., 1979, 1980]. Применение этого закона во многих задачах горения и тепло- и массообмена дало отличные результаты. При этом весовая функция Wi выбиралась в виде линейной комбинации производных некоторой интересующей нас зависимой переменной. Если в качестве таковой выбирают статическую температуру, то

совой функции остается постоянным. В сущности это есть закон, определяемый уравнением (10.44) или (10.45), но для одной координаты двумерной задачи. Однако в примере Уайта длина дуги бралась вдоль поверхности, которую задает решение для интересующей нас зависимой переменной. Была выбрана следующая весовая функция:

w, = l+a\7cl (10.47)

где X -кривизна вышеупомянутой поверхности. Такой подход обеспечивает автоматическое сгущение узлов сетки в областях больших градиентов, а густотой сгущения узлов в областях большой кривизны можно управлять изменением константы а,

10.4.3. Методы задания скорости узлов сетки

Не так давно Хайндлан и Спенсер [Hindman, Spencer, 1983] разработали метод построения сетки с заданием скорости ее узлов, в который включена также и идея эквираспределения. Поскольку методы построения расчетных сеток путем решения дифференциальнога уравнения являются наиболее распространенными, представляется разумным продифференцировать уравнение (10.43) для получения дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяет закон построения сетки. Это дает

11 + = 0. (10.48)

Для определения распределения узлов сетки это стационарное уравнение может быть решено на любом временном слое. В подходе, который предложили Хайндман и Спенсер, стационарное уравнение, определяющее закон построения сетки, дифференцируют по времени и полученное уравнение решают относительно скорости движения узлов сетки Хх. В нашем примере ее находят из уравнения

Один из способов построения сетки на следующем временном слое - простое интегрирование скорости движения ее узлов. Стационарное уравнение служит только отправной точкой для получения уравнения (10.49). Однако если используется при этом адаптивная сетка, то процесс построения последней начинает релаксировать. Лучше решать уравнение (10.49) относительно скорости движения узлов, чтобы полученные значения использовать при интегрировании уравнений с частными

(10.51)

[5] -матрица коэффициентов, вектор г -функция, управляющая построением сетки. Новые положения узлов сетки на каждой итерации или временном слое получают интегрированием скорости движения узлов. Во всех рассмотренных случаях этот метод срабатывал очень хорошо. Отметим, однако, что в этой работе не осуществлялось управление сгущением узлов внутри областей (Р и Q были равны нулю).

Рай и Андерсон [Rai, Anderson, 1980, 1982] разработали метод, в котором скорость движения узлов сетки регулируется путем вычисления локальной ошибки в численном решении. Это можно делать, сгущая узлы в областях с большими ошибками и, наоборот, делая их более редкими в областях, где ошибки численного решения малы. Разумно также полагать, что чем большее расстояние разделяет любые две точки, тем в меньшей степени они влияют друг на друга. Если опять мы будем обозначать координаты в физической плоскости через л:, , а в вы-

Производными, определяющих физические процессы. При этом скорости движения узлов интегрируются для получения приближенных положений узлов. Затем решается стационарное уравнение (10.48) при помощи этих приближенных значений в качестве начального приближения. Применение такой процедуры обеспечивает корректность значений скоростей узлов сетки, при этом стационарное уравнение, задающее закон построения сетки, будет корректным образом удовлетворено. Главная трудность применения этой процедуры в том, чтобы получить подходящие оценки производных по времени от весовой функции Wix. Проще это сделать численным образом. Во всех случаях, кроме простого скалярного уравнения, очень трудно получить аналитическое выражение этого члена.

Ранее Хайндман и др. [Hindman et al., 1979] использовали аналогичный метод при построении составной структуры решения уравнений Эйлера. Уравнения в разных частях поля течения решались в различных вычислительных областях, связанных через границы, которые могут быть либо проницаемыми, либо непроницаемыми. Движение узлов сетки вызывается только движением границ. Значения скорости движения узлов сетки получают дифференцированием по времени уравнений (10.16). Это приводит к системе уравнений с частными производными вида

[5]w, = r, (10.50)

где вектор w записывается в виде