случаях это дает даже более точное представление для ошибки и может оказаться полезным и в многомерных задачах. Интерес представляет лишь первый член ошибки аппроксимации дифференциального приближения уравнения в частных производных. Порядок производной в этом члене зависит от используемой разностной схемы. Например, если для уравнения первого порядка используется схема второго порядка, то первый член

0.0101-

0.005

10 20 30 hQ 50 60 70 80 90 в

Рис. 10.11. Распределение давления в задаче обтекания цилиндра; О - физическая координата;-неподвижная сетка размером 10 X Ю;----

адаптивная сетка размером 10 X 10.

ошибки аппроксимации есть производная третьего порядка и локальная ошибка численного решения будет пропорциональна третьей производной. В результате сетка для некоторой конкретной задачи будет единственной в своем роде и будет зависеть от выбранной разностной схемы. Тем не менее применение такой сетки приводит к уменьшению ошибки.

Другой задачей, представляющей интерес с точки зрения применения адаптивных сеток, является задача, в- которой отслеживается положение скачка. Пусть мы ищем установившееся решение двумерных уравнений Эйлера. Условия Гюгонио - Рэнкина для стационарного течения образуют требуемые соотношения параметров потока при переходе через любой разрыв, а требование слабого решения дифференциального уравнения в частных производных обеспечивает математическую связь между параметрами потока и углом наклона скачка. Если уравнения после установления по времени записываются в виде

(10.55)

то условия на скачке (см. § 4.4) задаются выражением

[E]cosa, + [F]cosa2=-0, (10.56)

где cosai и cos «2 - направляющие косинусы между единичными нормалями к скачку и осями х и у соответственно. Для исключения осцилляции скачок следует расположить так, чтобы cos «2 = 0. В этом случае

1Е] = 0.

(10.57)

Это означает, что вектор Е непрерывен при переходе через скачок. Последнее выражение должно быть подходящим образом дискретизировано. Это можно осуществить, применяя конечно-разностные методы, в которых построение сетки сообразуется с

Рис. 10.12. Распределение узлов в вычислительной плоскости при адаптации сетки к положению скачка.

положением скачка. Поскольку мы требуем, чтобы cosa2 = 0, то необходимо координатные линии только одного семейства направить вдоль скачка [MacCormack, Paullay, 1972].

Метод [Rai, Anderson, 1981] выстраивания линий одного семейства координат вдоль скачка основан на генерации скоростей узлов сетки, которые производят эффективное вращение сегментов линий, соединяющих узлы сетки, к направлению, параллельному поверхностям уровня одного из параметров потока. Рассмотрим показанное на рис. 10.12 распределение узлов в вычислительной плоскости. Пусть точка О есть середина сегмента, соединяющего точки Л и 5, и ft -любая физическая переменная, например давление.

Согласно этому методу, скорость в любой точке С записывается в виде

<,,,„ЩМ1, „0.58)

где \hi\ и II - абсолютные значения градиентов h вдоль и по нормали к линии АВ, К и п-константы, гос - расстояние между точками О и С и задается следующим образом:

1, если sign (-) sign (т)о - ЛсХ О,

2, если sign (-) sign (т)о - Лс) > О,

(10.59)

а sign означает знак аргумента. Если положить, что и hr) положительны, а точка С находится ниже точки Л, то скорость узлов {lc)t также положительна, что указывает на сгущение узлов сетки в области с большими градиентами. Полную скорость узла получаем суммированием вкладов от всех сегментов Входное сечение Ось симметрии Выходное сечение

o.s7 /.----------- -

Рис. 10.13. Неподвижная сетка для расчета течения в двумерном канале в физических координатах х, у.

в поле течения. Таким образом, линия сегмента вращается в направлении областей с большими градиентами и это вращение прекращается, когда эта линия становится параллельной поверхности постоянства Л, так как в этом случае либо Л = 0, либо кц = 0. Эта процедура позволяет локально адаптировать положение координатной линии к размещению областей с большими градиентами.

Примеры, демонстрирующие этот метод, приведены на рис. 10.13 и 10.14. На рис. 10.13 изображен двумерный канал, положение стенки которого задается уравнением

= 0.25+ (Уехи-0.25)2

Число Маха на входе равно 1.5, а давление на выходе выбирается таким, чтобы при л: = 0.5 располагался прямой скачок (расчет по одномерной теории). Поле течения рассчитывалось по зависящим от времени двумерным уравнениям Эйлера, записанным в дивергентной форме.