Промышленный лизинг
Методички
ние не дает полезной информации, если сетка не меняется со временем. Уравнения (10.61) - (10.63) являются следствием определенной формы записи уравнений (10.60). Если воспользоваться слабо дивергентной формой записи определяющих уравнений, а не строго дивергентной формой Вивьяна, то получится совсем другое ограничение на метрические коэффициенты. Если используется недивергентная форма записи определяющих уравнений, то не возникает специальных разностных соотношений, наложенных на метрические коэффициенты и полученных вследствие преобразования координат. Два набора метрических коэффициентов, обозначенных индексами (1) и (2), требуют дальнейшего обсуждения. Метрические коэффициенты, обозначенные индексом (2), следует вычислять с учетом ограничений, накладываемых уравнениями (10.62) и (10.63). Вычисление метрик с индексами (1) остается свободным от ограничений. Хайндман и др. [Hindman et al., 1981] показали, что корректный способ вычисления метрических коэффициентов с индексами (1) определяется точностью интегрирования якобиана в уравнении (10.61) при сравнении с его действительными значениями, вычисляемыми при отображении. Приведенный выше пример показывает, что форма записи интегрируемых уравнений может накладывать дополнительные ограничения на способ вычисления метрических коэффициентов. Хайндман [Hindman, 1981] предложил использовать форму записи уравнений, аналогичную использованной в уравнении (10.60), даже в схемах сквозного счета. При этом метрические коэффициенты не входят в потоковые члены, вследствие чего геометрические ограничения не возникают. Этот пример должен послужить предостережением о том, что требуется большая осторожность при решении любой системы, когда построение расчетной сетки и процесс решения уравнений связаны. Задачи 10.1. Проверьте уравнения (10.7), задающие преобразование метрических коэффициентов. 10.2. Пусть физическая область определена на интервале 0<х<1, а верхняя и нижняя границы задаются уравнениями ир = 1 + 0.2 sin пху = 0.1 cos пх соответственно. Получите преобразование, приводящее к равномерному распределению узлов сетки между верхней и нижней границами. Воспользуйтесь простым нормализующим преобразованием. 10.3. В задаче 10.2 интервал изменения х задается двумя линиями X = const. Если левая и правая границы суть yi = Юдс, /r = 4{х- 1) соот- ветственно, а верхняя и нижняя границы остаются прежними, то найдите для этого случая нормализующее преобразование, приводящее к равномерной сетке в физической области. Почему оно имеет гораздо более сложный вид, чем преобразование из задачи 10.2? 10.4. Решите задачу 10.2 алгебраическим методом, описанным в примере 10.4. Чтобы проверить ваши результаты, используйте сначала линейные функции, а затем кубические. 10.5. Решите задачу 10.3, используя линейные функции и метод, описанный в примере 10.4. 10.6. Пусть система уравнений с частными производными решается на прямоугольной области Oxl, О у I, Будем считать поверхность F(ty X, г/) = О скачком, причем его положение рассчитывается в процессе решения. Получите преобразование, переводящее физическую область на две прямоугольные вычислительные области, граничащие по поверхности F{ty х, у) = 0. Считайте поверхность гладкой и всегда пересекающей левую и правую границы физической области. 10.7. Проверьте преобразование, задаваемое уравнениями (10.14), и функции fl. 10.8. Метод Томпсона построения расчетных сеток основан на использовании уравнений (10.15). Получите уравнения (10.16), представляющие собой запись уравнений (10.15), в которой за независимые переменные приняты координаты т] в вычислительной плоскости. 10.9. Покажите, что отображение, задаваемое уравнениями 7% = О, у2ц = 1/т, переводит окружности, расположенные в физической плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга, на равномерную прямоугольную сетку в вычислительной плоскости. 10.10. Покажите, что решение уравнений Коши -Римана является решением уравнения Лапласа, но обратное утверждение справедливо не всегда. 10.11. Решите задачу 10.3, используя для получения отображения метод Миддлкоффа и Томаса (уравнения (10.19) и (10.20)) с целью более эффективного определения Р и Q. Обсудите полученные результаты и укажите на трудности, имеющиеся при выборе Ф и -ф. 10.12. На интервале О < jc < 1 существует стационарное аналитическое решение одномерного уравнения Бюргерса [уравнение (10.53)]. Решите это уравнение численно на адаптивной сетке методом, который предложил Дуайер. Используйте любой разумный критерий определения шага сетки в физической области и схему второго порядка. 10.13. Решите задачу 10.12, используя метод, предложенный Андерсоном и Раем. При построении сетки воспользуйтесь информацией о величине градиента некоторой переменной. Повторите решение, используя информацию о величине третьей производной. 10.14. Получите выражения для скорости движения узлов сетки уравнения (10.54). 10.15. Продемонстрируйте корректность требований, задаваемых уравнениями (10.61) - (10.63). 10.16. Выполните дифференцирование в уравнениях (10.38) и получите выражения для коэффициентов в уравнении (10.39). 10.17. Выведите уравнения Эйлера, когда для построения расчетной сетки используется вариационный метод, минимизируя меру ортогональности, задаваемую уравнением (10.34). приложение А Подпрограмма решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей Подпрограмма SY предназначена для решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей методом прогонки, который описан в гл. 4. Для использования этой подпрограммы система уравнений должна быть записана в следующей форме: (АД) Обращение к подпрограмме SY имеет вид CALLSY(/L, /f/. В, D, Л, С). В, D, Л и С - идентификаторы одномерных массивов вещественных переменных В(/), !>(/), Л(/), С(/); IL и /f/ -целые переменные без индексов. Элементы массивов с индексами от IL до W определяются следующим образом: В - коэффициент, расположенный под главной диагональю (слева от нее), D - коэффициент, расположенный на главной диагонали, Л - коэффициент, расположенный над главной диагональю (справа от нее), С - составляющая вектора констант. Уравнения системы расположены в соответствии со значениями индекса. Переменная IL - индекс первого уравнения системы, а переменная IU - индекс последнего уравнения системы. Общее число уравнений системы равно IU -11+ 1. Вектор и, являющийся решением системы уравнений, записывается программой на место массива С. Следовательно, постоянный вектор С после работы подпрограммы не сохраняется. Массив D при работе подпрограммы также изменяется. Массивы Л и В остаются неизменными. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 |