тодов второго порядка точности, например от метода Кранка - Николсона. Вернемся к уравнению теплопроводности и покажем, как при применении этого метода проводится аппроксимация первых и вторых производных. Итак, рассмотрим уравнение

du/dt = adu/d)(.

Если ввести функцию v = ди/дх, то исходное уравнение в частных производных второго порядка можно заменить системой двух уравнений первого порядка

= (7.31)

дх ди dt

дх •

(7.32)

Теперь мы постараемся построить конечно-разностные аналоги этих уравнений, используя лишь центральные разности и

п-1 п т-J • •

j

J-1

Рис. 7.2. Разностная сетка для блочного метода Келлера.

значения функций в четырех вершинах прямоугольника («блока») с центром в точке (п -Д. / -Л) (рис. 7.2). Сеточные функции, содержащие /г в верхнем или нижнем индексе, по определению являются средними значениями. Например,

"" + 4-1 2

«/"-./2 =

При использовании центральных разностей для аппроксимации уравнений (7.31) и (7.32) получим (рис. 7.3 и 7.4)

"/-""-1

,,п ,,П-

"/-l/2~"/-lf2

- /-1/2»

(7.33) (7.34)

Система уравнений (7.33) и (7.34) может быть записана в блочной трехдиагональной форме с блоками размером 2X2. Ее можно решить, используя блочный метод исключения [Keller, 1970]. Можно поступить и по-другому: сохранив используемый в блочном методе Келлера шаблон, так скомбинировать конечно-разностные аналоги уравнений в двух соседних узлах, чтобы исключить одну из переменных и получить систему уравнений с трехдиагональной матрицей. Последняя может быть эффективно решена прогонкой. Такое изменение блочного метода

Рис. 7.3. Шаблон для вычисления

"/-1/2-

Рис. 7.4. Шаблон для уравнения (7.34).

Келлера, позволяющее упростить окончательную алгебраическую формулировку задачи, мы будем называть модифицированным блочным методом.

Применение модифицированного блочного метода для решения уравнения теплопроводности. Для начала запишем конечно-разностные аналоги уравнений (7.31) и (7.32) так же, как и в случае блочного метода Келлера, но решение будем искать на (az + 1)-м слое по маршевой координате. Такая запись разностной схемы лучше согласуется с принятой записью других разностных схем решения маршевых задач, которые были описаны в гл. 4. Итак, имеем

,п+1 /-1/2-

(7.35) (7.36)

Как и раньше, сеточные функции, содержащие V2 в индексе, по определению являются средними значениями неизвестных в узлах сетки. Уравнение (7.36) можно переписать в виде

""""" 14 д. Андерсон и др. Том 2

"1-1

Ддг,

(7.37)

Ах 2а AfiH

Ллгу А-/+1 . 2а . 2а

,1+1

Последние соотношения можно немного упростить, если шаг по X постоянен. Но даже тогда для проведения расчетов на каждом шаге надо проводить больше алгебраических вычислений, чем при использовании схемы Кранка - Николсона, которая на равномерной сетке также имеет второй порядок точности. По

Основная идея модифицированного блочного метода состоит в том, чтобы выразить все v через и. Величина tt} может быть исключена из уравнения (7.37) простой подстановкой при помощи уравнения (7.35). Аналогично величину vj можно

исключить, подставив ее из уравнения (7.35), записанного на п-м временном слое. Это дает

Для того чтобы исключить t;+ и vy надо переписать уравнения (7.35) и (7.37), увеличив в них индекс / на 1, и сложить их. Б результате придем к соотношению

Величины v- и можно исключить, умножив уравнение (7.38) на Длс/, уравнение (7.39) на Ал:/+1 и сложив эти два произведения. Полученную систему уравнений можно записать в трехдиагональном виде

М+/ -f Duf + Л,ау+/ = С, (7.40)