Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

приложение С Модифицированный сильно неявный метод

В этом приложении описан модифицированный сильно неявный метод (MSI) решения эллиптических уравнений в частных производных [Schneider, Zedan, 1981]. Основная идея метода приведена в гл. 4, а в этом приложении более подробно описаны его основные особенности. Шнейдер и Зедан (Schneider, Zedan, 1981] предложили этот метод для решения системы алгебраических уравнений, полученных при дискретизации эллиптического уравнения в частных производных

(*-l7)+(*.f (СО

Если и -температура, то это уравнение описывает двумерный стационарный процесс распространения тепла. В приведенном уравнении kx и ky - коэффициенты теплопроводности в направлении осей X и у соответственно, а q{x, у)-источниковый член, описывающий подвод тепла. Отметим, что уравнения вида (С.1) описывают и многие другие физические процессы. При д: = fei/= const и q{x, у)фЬ уравнение (С.1) является уравнением Пуассона, а при kx = ky = cons\ и q{x, у)=0 уравнение (С.1) сводится к уравнению Лапласа. В работе Шнейдера и Ведана [Schneider, Zedan, 1981] приведены численные примеры, относящиеся лишь к уравнению Лапласа. При этом представлены результаты расчетов задач с граничными условиями Дирихле, Неймана и Робинса (смешанное граничное условие).

Алгоритм разработан для решения уравнений, полученных при аппроксимации уравнения (С.1) по девятиточечной схеме. Уравнения, полученные при пятиточечной аппроксимации, рассматриваются при этом как частный случай. При использовании девятиточечной схемы (см. соотношение (4.114)) конечно-разностный аналог уравнения (1.1) можно записать в виде

1 fi, /+1 1 fi + l, /+1 li + U f fi + U f-l + Ii, /-1 +

+ Al j, + Al, + Al ju, ,=, . (C.2)



Индексы I, / указывают на номер узла разностной сетки, а не на номер строки и столбца матрицы. Верхние индексы указывают на номер коэффициента в разностном уравнении для произвольной точки (i, /). Если используется пятиточечная аппроксимация уравнения, то

Ali = Al, = Alf = Al, = 0.

Разностные уравнения можно записать в виде

[Л]и = С, (СЗ)

причем матрица коэффициентов имеет вид


AjA>Alj Alj Al

Для последующих ссылок диагонали, на которых расположены элементы, имеющие одно и то же значение индекса i (расположенные в одном столбце точек сетки), помечены звездочкой. Построим теперь матрицу

[В] = [А + Р1 ?

которую можно представить как произведение верхней (U) и нижней (L) треугольных матриц. Кроме того, потребуем, чтобы девять исходных коэффициентов (от А] до А] ) при переходе к матрице [А + Р] не изменились. Матрицы [L] и [U] имеют вид





Звездочкой по-прежнему обозначены диагонали, соответствующие узлам сетки с одинаковым значением индекса /.

Условие сохранения при переходе к матрице [В] девяти коэффициентов, образующих матрицу [Л], позволяет получить следующие уравнения для определения элементов матриц [L] и [U]:

4i = lp (С.За)

а,,/,,,, + 6,, = Л,,, (С.ЗЬ)

6/./кы + С;./ = Л/./, (С.Зс)

fhii yi + bi fgi y i + f = Ai, ь (C.Sd)

(С.Зе)

di / + в/, /g/, / = Al /, diji-\yi + iylKi = A\,j

(C.8f) (C.3g) (C.3h)

(C.3i)

Модифицированная матрица коэффициентов [5] = [Л + 1 имеет вид

[В] -


Звездочка имеет тот же смысл, что и раньше.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110