Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

Элементы матрицы [В], обозначенные коэффициентами 1./ 1/ " */ определяются соотношениями

Ki = t.lft+ij-u (С.4а)

liHlSi-ui-X (C.4b)

Разностный шаблон, определяемый матрицей [В], схематически показан на рис. С.1.

J+1 J

«1,J 1

Рис. CI. Шаблон для решения модифицированным сильно неявным методом уравнений, полученных при применении девятиточечной схемы. Если применяется пятиточечная схема, то точки, обозначенные у, у, у, Лу,

ф\ у, Ф\ у.исчезают.

Шнейдер н Зедан [Schneider, Zedan, 1981] воспользовались разложением в ряд Тейлора для того, чтобы выразить значения Ui-2j, «t+2./> +2,f-i и «f-2,/+1 через значения и в узлах исходного девятиточечного шаблона. Это позволило частично избавиться от влияния дополнительных членов (i,/) матрицы [В]. Указанные разложения имеют вид

«f-2, / = / + 2«/ ,, у (С.5а)

i+2,/ = -«i,/ + 2t/+,,y (C.5b)

Uu2, /-1 = -2t/, у + 2;+,, у + И/, у-1, (С.5с)

И/ 2, /+1 = -2/;, у + 2а 1, у + у+1- (C.5d)

К столь же хорошим результатам может привести использование и любой другой экстраполяционной формулы для определения значений неизвестных вне исходного разностного шаблона,



(C.7d)

Использование того или иного приближения влияет лишь на скорость сходимости итерационного процесса, а не на окончательный результат, получающийся, когда процесс сойдется.

Итерационный параметр а вводится для того, чтобы частично избавиться от влияния элементов /, появляющихся в [В]. Это достигается использованием модифицированной девятиточечной схемы, которая имеет вид

Al ,и, + Al jU, , J + Al ju, J + Al u, + Al jU,,, + + Al /»i + Al jU + Al jU y , + + Al jU,,+ [u,, - a {-2u,, + 2u,,, + a,+

+ П/К-2./-«(-"л/ + 2.-1./)] + + 1 / K+2. / - «{-4 f + /)] +

Уравнения (C.3) и (C.4) модифицируются с учетом вводимого соотношениями (С.6) частичного сокращения членов и преобразуются так, чтобы элементы матриц [L] и [U] выражались явно:

= (С.7а)

. 1 / - i, fh-u /-1 ~ /+1. /-1 7. ч

С;,у = ЛЬ-,Л/-1, (C.7c)

- d,. ifi-u I + «(21., + + n / + 21. /). (C-7e)

11,1 =-1-.

~• (c.7g)



Величины af,/, входящие в эти соотношения, вычисляются по формулам (С. 4) с использованием значений а, Ь, с, dy fy g и Sy вычисленных по формулам (С.7). Отметим, что входящие в (С.7) значения / должны быть вычислены сразу после нахождения величины d/,/. Результаты, полученные Шнейдером и Зеданом [Schneider, Zedan, 1981], показывают, что модифицированный сильно неявный метод мало чувствителен к выбору значения параметра а. Хорошие результаты получаются при расчетах с параметром а, лежащим между 0.3 и 0.6.

Здесь важно отметить, что если сильно неявный метод используется для решения уравнений, полученных при использовании пятиточечной схемы, то

4/ = ЛЬ = Л1/ = ЛЬ = 0. (С.8)

и в результате

Итерационный процесс решения уравнений организуется следующим образом. Сначала добавим к обеим частям уравнения (СЗ) величину [Р] U. Тогда получим

[А + Р]и = С + [Р]п. (сю)

Значения неизвестных в правой части возьмем с п-й итерации, что приводит к соотношению

[А + Р] и+ = С + [Р] u (С. 11)

Представив матрицу [Л + Р] в виде произведения матриц [L] и [С/], получим

[L] [U] и+ = С + [Р] и*. (С 12)

Введя промежуточный вектор V+i по формуле

V*+ = [(/]u+\ (С. 13)

придем к следующему двухшаговому итерационному процессу: Шаг 1

[L]V+=C+[P]u (С 14а)

Шаг 2

[t/]u+ = V+\ (С. 14b)

Элементами матрицы [Р] являются просто фу ф, ф, ф (при использовании пятиточечной схемы только ф и ф). Они вычисляются по соотношениям (С.4).

Можно поступить и по-другому, введя вектор разности

5+ = u+~u (С15)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110