Промышленный лизинг
Методички
Элементы матрицы [В], обозначенные коэффициентами 1./ 1/ " */ определяются соотношениями Ki = t.lft+ij-u (С.4а) liHlSi-ui-X (C.4b) Разностный шаблон, определяемый матрицей [В], схематически показан на рис. С.1. J+1 J
Рис. CI. Шаблон для решения модифицированным сильно неявным методом уравнений, полученных при применении девятиточечной схемы. Если применяется пятиточечная схема, то точки, обозначенные у, у, у, Лу, ф\ у, Ф\ у.исчезают. Шнейдер н Зедан [Schneider, Zedan, 1981] воспользовались разложением в ряд Тейлора для того, чтобы выразить значения Ui-2j, «t+2./> +2,f-i и «f-2,/+1 через значения и в узлах исходного девятиточечного шаблона. Это позволило частично избавиться от влияния дополнительных членов (i,/) матрицы [В]. Указанные разложения имеют вид «f-2, / = / + 2«/ ,, у (С.5а) i+2,/ = -«i,/ + 2t/+,,y (C.5b) Uu2, /-1 = -2t/, у + 2;+,, у + И/, у-1, (С.5с) И/ 2, /+1 = -2/;, у + 2а 1, у + у+1- (C.5d) К столь же хорошим результатам может привести использование и любой другой экстраполяционной формулы для определения значений неизвестных вне исходного разностного шаблона, (C.7d) Использование того или иного приближения влияет лишь на скорость сходимости итерационного процесса, а не на окончательный результат, получающийся, когда процесс сойдется. Итерационный параметр а вводится для того, чтобы частично избавиться от влияния элементов /, появляющихся в [В]. Это достигается использованием модифицированной девятиточечной схемы, которая имеет вид Al ,и, + Al jU, , J + Al ju, J + Al u, + Al jU,,, + + Al /»i + Al jU + Al jU y , + + Al jU,,+ [u,, - a {-2u,, + 2u,,, + a,+ + П/К-2./-«(-"л/ + 2.-1./)] + + 1 / K+2. / - «{-4 f + /)] + Уравнения (C.3) и (C.4) модифицируются с учетом вводимого соотношениями (С.6) частичного сокращения членов и преобразуются так, чтобы элементы матриц [L] и [U] выражались явно: = (С.7а) . 1 / - i, fh-u /-1 ~ /+1. /-1 7. ч С;,у = ЛЬ-,Л/-1, (C.7c) - d,. ifi-u I + «(21., + + n / + 21. /). (C-7e) 11,1 =-1-. ~• (c.7g) Величины af,/, входящие в эти соотношения, вычисляются по формулам (С. 4) с использованием значений а, Ь, с, dy fy g и Sy вычисленных по формулам (С.7). Отметим, что входящие в (С.7) значения / должны быть вычислены сразу после нахождения величины d/,/. Результаты, полученные Шнейдером и Зеданом [Schneider, Zedan, 1981], показывают, что модифицированный сильно неявный метод мало чувствителен к выбору значения параметра а. Хорошие результаты получаются при расчетах с параметром а, лежащим между 0.3 и 0.6. Здесь важно отметить, что если сильно неявный метод используется для решения уравнений, полученных при использовании пятиточечной схемы, то 4/ = ЛЬ = Л1/ = ЛЬ = 0. (С.8) и в результате Итерационный процесс решения уравнений организуется следующим образом. Сначала добавим к обеим частям уравнения (СЗ) величину [Р] U. Тогда получим [А + Р]и = С + [Р]п. (сю) Значения неизвестных в правой части возьмем с п-й итерации, что приводит к соотношению [А + Р] и+ = С + [Р] u (С. 11) Представив матрицу [Л + Р] в виде произведения матриц [L] и [С/], получим [L] [U] и+ = С + [Р] и*. (С 12) Введя промежуточный вектор V+i по формуле V*+ = [(/]u+\ (С. 13) придем к следующему двухшаговому итерационному процессу: Шаг 1 [L]V+=C+[P]u (С 14а) Шаг 2 [t/]u+ = V+\ (С. 14b) Элементами матрицы [Р] являются просто фу ф, ф, ф (при использовании пятиточечной схемы только ф и ф). Они вычисляются по соотношениям (С.4). Можно поступить и по-другому, введя вектор разности 5+ = u+~u (С15) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 |