5Х =

(5-8) (5.6) .(5-3) (5-2)

Для умножения одной матрицы на другую сначала необходимо убедиться, что матрицы подходят для умножения: каждая строка в первой (левой) матрице должна иметь .такое же количество ячеек, сколько во второй (правой) матрице. Другими словами, число столбцов в первой (левой) матрице должно совпадать с числом строк во второй (правой) матрице. Для иллюстрации этого рассмотрим матрицы

Г2 81

Чтобы умножить X на Y, необходимо умножить каждый элемент в первой строке X на соответствующий элемент первого столбца Y и расположить их в первой ячейке матрицы Z. Этот процесс повторяется, берутся элементы из первой строки X и умножаются на элементы второго столбца матрицы Y и результат располагается во второй ячейке первой строки матрицы Z. Эта процедура повторяется для нахождения второй строки Z.

Например, значение первой ячейки в матрице Z определяется как (6 2) + (2 3) + (1 1) = 19. Вторая ячейка первой строки матрицы Z определяется как (6 8) + (2 4) + (1 6) = 62.

Первая ячейка второй строки матрицы Z находится как (8 2) + (9 3) + + (4 1) = 47. Вторая ячейка во второй строке матрицы Z находится как (8 8) + (9 4) + (4 6) = 124.

X Y, таким образом, выглядит как

19 62 47 124

Заметьте, что размер матрицы Z составляет только 2 2. Это потому, что размер матрицы-произведения равен числу строк в первой матрице и числу столбцов во второй.

Важно понять, что в матричной алгебре XYw является тем же самым, что YX, т.е. матричное умножение некоммутативно. Читателю предлагается доказать в качестве упражнения, что, используя вышеуказанные матрицы X и Y, получим YX, равное

76 76 34

50 42 19

54 56 25

Более того, видно, что матрица YX даже имеет отличную от матрицы ЛГУ форму.

Вычисление обратной матрииы

Только квадратные матрицы и к тому же только некоторые из квадратных матриц имеют обратные матрицы. Обратная матрица - зто такая, произведение которой на исходную матрицу равно единичной матрице. В единичной матрице каждая ячейка равна нулю за исключением главной диагонали, содержащей единицы. Например, единичная матрица 3x3 выглядит так:

1 0 0 0 10. 0 0 1

Единичная матрица обладает следующим свойством: когда она используется в матричном умножении, другая матрица-множитель остается неизменной.

Матрицы нельзя делить. Однако если квадратная матрица имеет обратную, тогда можно вместо этого умножить на обратную для получения желаемых результатов (смотрите ниже для применения). Матрица, обратная матрице X, обозначается Х~х. Чтобы найти обратную для матрицы, можно сформировать разделенную матрицу посредством расположения единичной матрицы рядом с инвертируемой (той, для которой находится обратная), например,

Далее исходная матрица должна быть преобразована в единичную через сложение, вычитание, умножение или деление каждой строки. Когда матрица слева превратится в единичную, матрица, полученная справа, будет представлять собой обратную к исходной матрице. Это показано ниже.

Возьмем записанную выше разделенную матрицу X

Для формирования новой матрицы Z, такой, что единичная матрица возникнет слева, начнем с преобразования ячейки хХ1 до единицы с помощью деления строки на шесть.

1 033 0,17 8 9 4 3 1 0

0,17 О О О 1 О О 0 1

Чтобы привести 8 в ячейке х21 к нулю, отнимем 8 строка 1 из

строки 2.

1 0,33 0,170,17 О О О 6,33 2,67-1,33 1 О 3 1 0 j 0 0 1

Для обращения 3 из ячейки х31 в 0 отнимем 3 строка 1 из строки 3.

1 0,33 0,17 О 63 2,67 О 0 -0,5

0,17 О О -U3 1 О -0,5 0 1

Для преобразования 6,33 в ячейке х22 к разделим строку 2 на 6,33.

1 0,33 0,17 О 1 0,42 О 0 - 0,5

0,17 О О -0,21 0,16 О -0,5 0 1

Для преобразования 0,33 в ячейке х12 к 0 отнимем 0,33 - строка 2 из строки 1.

1 0 0,03 О 1 0,42 О 0 -0,5

0,24 -0,05 О - 0,21 0,16 О -0,5 0 1

Чтобы привести -0,5 из ячейки х33 к 1, умножим строку 3 на -2.

1 0 0,03 О 1 0,42 О 0 1

0,24 - 0,05 - 0,21 0,16 1 О

Для обращения 0,03 в ячейке х13 в 0 вычтем 0,03 * строка 3 из строки 1.

1 О О О 1 0,42 О 0 1

0,21 -0,05 0,05 - 0,21 0,16 О 1 0 -2