Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

Для приведения 0,42 из ячейки х2з к 0 отнимем 0,42 строка 3 из строки 2.

1 0 0 0 1 0 О 0 1

0,21 -0,63 1

-0,05 0,05 0,16 0,84

Таким образом, обратная матрица к

Гб 2 Г 8 9 4 3 1 0

выглядит как

0,21 - 0,05 0,05 -0,63 0,16 0,84 1 0-2

(с точностью до двух знаков после запятой).

Решение систем уравнений

Матричная алгебра может быть использована для решения систем уравнений, и именно это свойство позволяет применить ее в вычислении коэффициентов регрессии по методу наименьших квадратов.

Чтобы показать, как матричная алгебра может быть приложена к решению систем уравнений, рассмотрим следующее уравнение:

6a + Sb = 25, 8д - 36 = 20.

Наша цель заключается в нахождении значений а и Ь, которые приводят к решению обоих уравнений.

Это можно записать в матричной форме:

6 8

8 -3

Мы можем найти требуемые значения а и b следующим способом. Предварительно умножим обе стороны на матрицу, обратную матрице коэффициентов

6 8Та

25

.8 -3JA



Это дает

Г1 ОТа] Гб 8

[о ф\ = [в -:

т.е.

25

Теперь

таким образом,

б 8

0,036585

0,097561

8 -3

0,097561

- 0,07317

0,036585 0, 0,097561

,0975617 0,07317j[

2,866

0.976

Получаем a = 2,866 и b = 0,976.

Приложение к МНК регрессии

Для того чтобы увидеть, как эта методология применяется в регрессионном анализе, возьмем следующее оценочное уравнение регрессии

y = во + вххх + в2хг+..лвкхк + е.

Для каждого из наблюдений У и каждого набора наблюдений X переменных может быть составлена система уравнений, как показано ниже:

У = Bq + в\хц + $2*21 +кхк\ + *1 У2 = Bq + S]*j2 + в2х22 + +Bi(Xi(2 + в2

Ул = #0 + b\xln + в2х2 + лв/сх/о, + е

Можно затем составить вектор значений Уиз л элементов, л к матрицу значений x и вектор значений е из л элементов, например,



; Х =

; е =

Столбец единиц в матрице X представляет постоянный член в уравнении.

Цель - нахождение вектора В(.

Хц A 2i Х12 Х22

Хк1 Хк2

Если приведенная выше матрица квадратна, т.е. имеет то же число наблюдений, что и неизвестных (к = и), тогда она может иметь обратную матрицу. В таком случае мы приходим к

1 хи

х21 .

1 х12

. 1 xin

Проблема эмпирического исследования заключается в том, что обычно существует больше наблюдений (л), чем независимых переменных (к), матрица X не является квадратной, а мы помним, что можно инвертировать только квадратные матрицы. МНК ведет к предварительному умножению матрицы X и вектора Уна транспонированную из X матрицу X*. Матрица, транспонированная из приведенной выше матрицы X, - это

1 1 ... 1 Хц Хх2 ... Х1п Хг\ Хгг Х2п Хк\ %кг Х/о,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175