ряд. Здесь нахождение разностей - это всего лишь нахождение изменений значения переменной в последующие периоды, т.е. величины AY, = Y, - Ряд значений ЛУ- это ряд разностей.

Если во временном ряду должны быть рассчитаны разности первые, чтобы получить стационарный ряд, то первоначальный ряд называется интегрированным рядом первого порядка, или /(1). Если же требуется рассчитать вторые разности для получения стационарного ряда, то это интегрированный ряд второго порядка, или 1(2). Если же в ряду вообще не требуется вычислять разности, то он называется интегрированным рядом нулевого порядка, или /(0).

Вспомним приведенное выше обсуждение стационарности. Мы предположили, что уровни значений индексов FTSE 100 вряд ли являются стационарными, в то время как ряд показателей доходности вполне может быть таким.

Если ряд /(0), т.е. стационарен, то его дисперсия будет конечна. Изменения рассматриваемой переменной будут иметь только промежуточное влияние на временной ряд. Коэффициенты автокорреляции будут постепенно убывать таким образом, что их сумма станет конечной. И наоборот, если ряд /(1), то изменения будут иметь постоянный эффект, дисперсия с течением времени будет возрастать до бесконечности .

Вернемся к примеру с индексом FTSE 100. Исходя из наших заключений, можно сказать, что показатели доходности являются первыми разностями ряда значений индекса. Если ряд значений доходности устойчив, то ряд значений индекса будет рядом /(1).

Моделирование при помощи нестационарных рядов может оказаться проблематичным, например, это может привести к ложной корреляции. Чтобы понять, что это такое, взгляните на рис. 7.7, на котором изображены значения индексов FTSE 100 и S&P 500. Коэффициент корреляции этих двух рядов равен 0,81. Однако было бы неуместным предполагать причинную связь между значениями индексов. Конечно, оба индекса вместе возрастают и падают на протяжении длительных периодов времени, но является ли рост одного индекса причиной роста другого? В действительности же, в соответствии с экономической теорией, причиной одновременного роста индексов служит долгосрочный экономический рост в обеих странах при условии высокого уровня интегрированное национальных экономик и положительного уровня инфляции. Таким образом, причиной долго-

срочного роста индексов является третий фактор - экономическая деятельность.

600т

-.- S4P500 .....FTSE 100

3600 3400 3200 3000 2800 2600 2400 2200 2000

Рис. 7.7. Месячные уровни индексов S&P 500 и FTSE 100

Рис. 7.8. Месячная доходность по S&P 500 и FTSE 100 : с 1.01.92 по 1.09.95

Ложная природа корреляции двух рядов подтверждается при анализе рядов доходности. Если бы корреляция была высокой, то мы могли бы ожидать отрицательную (положительную) рентабельность в одном ряду при отрицательной (положительной) рентабельности в другом. Однако, как это видно на рис. 7.8, это не всегда имеет место. На само м деле корреляция рядов динамики доходностей равна всего лишь 0,3.

Таким образом, построение моделей с переменными /(1) может привести к видимой корреляции, которая может быть принята за причинную связь, в то время как этого на самом деле нет.

Модели скользяшеп средней

Модель скользящей средней - это модель, где моделируемая величина задается линейной функцией от прошлых ошибок, т.е. разностей между прошлыми смоделированными значениями и прошлыми фактическими наблюдениями.

Y , = Во + В ,е, , + В 2е, 2 + В 3е, з + ё (7.6)

е,= Г,-У, (7.7)

Термин скользящая средняя , используемый в этой главе, не следует путать со схожим термином, относящимся к технике сглаживания данных.

Авторегресспонные модели скользяшей средней

Разработаны модели временных рядов, которые сочетают авторегрессионный процесс с моделью скользящей средней. Неудивительно, что эти модели называются авторегрессиоными моделями скользящей средней или ARMA1. Модель ARMA(pq) имеет р временных лагов в авторегрессионном процессе и q интервалов в модели скользящей средней. Например, ARMA (3, 2) выглядит следующим образом:

Y, = оо + а, У, , + а2 У, 2 + а3 К, 3 +# В,е, , + В2е, 2 + и (7.8)

где и, - остаточный член ошибки в данном уравнении.

Auto-Regressive Moving Average.