Лвторегресспонные интегрированные модели скользя шеи средней (ARIMA)

Если перед применением ARMA необходимо определить разности уровней с целью получения стационарного ряда, то нужно будет знать порядок этих разностей. Таким образом, процесс ARIMA обладает тремя параметрами: р - порядок авторегрессии, d - требуемый порядок предварительно определяемых разностей и q - порядок скользящей средней в модели.

Поскольку ARIMA включает в себя авторегрессионные процессы, модели скользящей средней и интегрирование, то многие динамические процессы можно рассматривать как ARIMA-процессы. Мы уже отметили, что данные могут иметь авторегрессионный компонент (AR). Ряд может обладать определенной степенью интегрирования: Д1), ДО) и даже Д2). В случае Д1) и Д2) нужно единожды или дважды рассчитать разности, чтобы получить стационарный ряд. Наконец, может присутствовать компонент скользящей средней (МА).

Очень важно разбить временной ряд на эти три составляющие для того, чтобы определить структуру моделируемого процесса. Первая стадия - это расчет: разностей с целью получения стационарных рядов. Затем можно попытаться смоделировать полученный стационарный ряд с помощью ARMA.

Например, возьмем абсолютно случайный процесс, где Y, зависит только от среднего уровня ряда и ошибки, т.е.

В этом процессе нет зависимости от прошлых значений Y, нет разностей Y, и нет зависимости от прошлых значений ошибки. Мы можем классифицировать этот процесс как ARIMA (0, 0, 0).

Белый шум - это ARJMA(0,0,0) с нулевым средним значением.

Процесс ARIMA (1, 0, 0) имеет следующий вид:

где - 1<а<1 и г, - элемент белого шума.

Процесс зависит от непосредственно предшествующего значения Y, определение разностей уровней не требуется для трансформации этого ряда в стационарный. Это то же самое, что и процесс AR(1).

Y, = 1 + в,.

(7.9)

Г, = аГ, ! + в

(7.10)

Если а = 1, то процесс не будет стационарным и потребуется вычисление разностей. Это пример процесса ARIMA (0, 1,0), т.е.

Y, = /-, ,+ е (7.11)

потому что для получения стационарного ряда потребуется определение первых разностей У,.АЭто будет определено как процесс случайного блуждания.

Процесс ARIMA (0, 0, 1) имеет следующий вид:

К,= е,+ 0Е, (7.12)

потому что Y, зависит только от значений ошибки. Процесс ARIMA (1,0, 1) будет:

Y, = аУ, , + 0е, , + е,. (7.13)

Векторные авторегрессионные процессы и векторные процессы скользяшей средней

До сих пор мы рассматривали временные ряды только одной переменной. В финансах, как и во многих других областях, нам может понадобиться рассмотреть соотношения между двумя и больше переменными. Например

A-, = aJT, , + РК,

У,= уХ, х + 5К, ,. (7.14)

Этот процесс можно изобразить в виде матриц с Xt и Yt, образующими вектор следующим образом:

Таким образом, а, В, у и 5 образуют матрицу 2x2.

Процесс, изображенный выше - это векторный AR(1) процесс или VAR (1) процесс, потому что здесь включается только одна непосредственно предшествующая векторная переменная и нет МА процесса.

Процесс VMA (1) не будет включать предыдущие значения переменной, но только предыдущие значения ошибок:

Xt = ръх, х +

П= , +5Еу, ,. (7.16)

(7.15)

Этот процесс может также быть изображен в матричном виде:

ел-

Р Ч г s

(7.17)

Очевидно, что векторные процессы могут включать как элементы автокорреляции, так и элементы скользящей средней. Примером векторного ARMA, включающего предыдущие значения с лагом в один период и предыдущие значения ошибки с таким же лагом, VARMA (1,1) будет

В матричном виде это будет

(7.18)

(7.19)

Мы знаем, что информация во временных рядах может получаться в результате нескольких процессов. Некоторые типы процессов часто встречаются при анализе финансовых временных рядов под общим названием авторегрессионные интегрированные процессы скользящей средней (ARIMA). Они состоят из трех подпроцессов : авторегрессионных процессов (AR), интегрирования (/) и процессов скользящей средней (МА). Таким образом, анализ таких динамических процессов может производиться путем разбиения процесса на три упомянутых выше подпроцесса. Очень важно также помнить, что ARMA-npouecc предполагает, что временные ряды стационарны с постоянной средней и дисперсией. Таким образом, анализируя ряды, соответствующие ARIMA-процессу, первым делом следует определить степень интегрированности и, если необходимо, рассчитать разностный ряд так, чтобы его среднее значение стало неизменным.

В экономике и финансах многие ряды не обладают устойчивыми средним значением и дисперсией. Поэтому далее в этой главе мы изучим коинтеграцию в рядах динамики и ARCH-и GARCH-методы, разработанные для работы с такими временными рядами.

Коинтеграция была разработана в ответ на растущую потребность в анализе соотношений между группами экономических