показателей-переменных, чтобы получать концептуально и эмпирически более значимое измерение этих взаимосвязей в свете нестационарности отдельных временных рядов. Коинтеграция, в частности, адресуется к данным с нестационарными средними значениями.

ARCH и GARCH учитывают неустойчивость дисперсии и были разработаны в связи с потребностью прогнозирования волатильности финансовых временных рядов в преддверии распространения финансовых опционов и вообще растущей неустойчивости финансовых рынков в течение последних двух десятков лет.

ИНСТРУМЕНТЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Очевидно, что процесс построения временных рядов может принимать различные формы. В нашем обсуждении мы уже ограничили себя тремя элементами и показали, что при анализе временных рядов необходимо обратить внимание на уровень автокорреляции, интегрированное и на компонент скользящей средней. Далее мы рассмотрим использование коэффициента автокорреляции (Auto-correlation coefficient - АСС) и частного коэффициента автокорреляции (Partial auto-correlation coefficient - РАСС) для идентификации элементов AR и МА в процессе построения временных рядов. Затем мы воспользуемся расширенным тестом Дики-Фуллера (angmented Dickey-Fuller) для определения степени интегрирования.

Проверка автокорреляипп: коэФФпипента автокорреляипп п Функции

Для определения степени автокорреляции временных рядов мы должны определить силу связи между текущими и прошлыми значениями рассматриваемой переменной. Одним из способов измерения этой связи являются коэффициенты автокорреляции (АСС), совокупность которых образует функции автокорреляции (ACF). Коэффициент автокорреляции измеряет связь между те-

кушими и прошлыми наблюдениями временного ряда и рассчитывается следующим образом:

zfr - vKx -¥)

Рк = -- -, (7-20)

где к - количество лагов. Таким образом, коэффициент автокорреляции первого порядка будет рассчитан с лагом в один период, коэффициент автокорреляции второго порядка будет учитывать степень связи между значениями, отстоящими на два временных периода, и т.д. Рассчитываются коэффициенты автокорреляции всех порядков и затем проводится статистическая проверка для определения, при каких лагах коэффициенты статистически значимы. Только лаги, являющиеся статистически значимыми, оставляются в модели.

Проверка значимости коэффициентов автокорреляции проводится при помощи критерия стандартной ошибки и Q-критерия Бокса-Пирса. Два критерия предлагаются потому, что существуют два подхода к проверке наличия автокорреляции. При первом подходе подразумевается использование критерия стандартной ошибки, проверяются коэффициенты автокорреляции каждого порядка отдельно, чтобы выявить, какие из них значимы. Второй подход использует Q-критерий Бокса-Пирса для того, чтобы проверить на значимость все множество коэф-фициенюв как группу.

Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается следующим образом:

SE,. = 4= (7.21)

Коэффициенты автокорреляции случайных данных обладают выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным .

Для иллюстрации этого подхода воспользуемся данными об уровнях цен и доходности британских государственных долгосрочных облигаций. Коэффициенты автокорреляции первого порядка рассчитываются на основе выборки из 900 наблюдений. Стандартная ошибка равна 1/-/900 = 1/30 = 0,0333.

Если г\ находится в следующем интервале:

-1,96 0,0333 < г, < 1,96 0,0333 = -0,065 < г, й 0,065,

то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляций первого порядка.

Все рассчитанные коэффициенты автокорреляции для временного ряда цен облигаций были значительно больше 0,065. Это неудивительно при том, что данный временной ряд - это ряд цен облигаций. Однако данные о доходности облигаций показали низкий уровень автокорреляции при том, что только коэффициенты первого, третьего, седьмого и восьмого порядков оказались статистически значимыми. Это показывают данные табл. 7.1.

Таблица 7.1

* Значимо при 5%-ном уровне.

Статистический критерий Q рассчитывается так:

где т - максимальный рассматриваемый лаг.

Например, с лагом, равным девяти, получим следующие значения Q-критерия:

Q = 900 0,027 = 24,5800, Х92(0,005) = 23,59.

Таким образом, как группа коэффициенты для лагов в девять периодов значимы.

Частный коэФФгшпент

п фуикипя автокорреляипп

Частный коэффициент автокорреляции (РАС), лежащий в основе частной функции автокорреляции (PAF), измеряет связь между текущим значением переменной X, и последующими значе-