Анализ временных рядов

ниями этой переменной Xt-\, Xj, > Xt-ь когда влияние всех промежуточных временных лагов устранено. Таким образом, частный коэффициент автокорреляции первого порядка будет равен коэффициенту автокорреляции первого порядка, так как нет промежуточных лагов. Но частные коэффициенты второго и следующих порядков будут уже отличаться друг от друга.

Частный коэффициент автокорреляции используется для определения степени автокорреляции внутри временного ряда. Например, ряд, обозначенный AR(m), показывает, что последний статистически значимый частный коэффициент автокорреляции рассчитан с лагом т. Таким образом, в ряде AR(2) текущее значение переменной обладает значимой корреляцией только со значениями, отстоящими на 1 и 2 временных лага назад. В ряде AR(4) значимыми будут частные коэффициенты автокорреляции с лагами от одного до четырех периодов, но коэффициенты с более высокими лагами не будут значимо отличаться от нуля.

В динамическом процессе АК(т) частные коэффициенты автокорреляции значимо отличаются от нуля для временных лагов от 1 до т и затем резко падают до нуля для интервалов т + 1 и больше.

Проверка процесса скользящей средней

Зная повеление коэффициента автокорреляции и частного коэффициента автокорреляции, можно попытаться определить, содержит ли ряд элемент скользящей средней. Если ряд скорее МА чем AR, то автокорреляция не будет показывать порядок МА-процесса. Хотя, если значение частных коэффициентов автокорреляции падает по экспоненте, а не опускается резко до нуля, то можно предположить, что ряд содержит процесс скользящей средней, а не AR.

Критерий для ARMA-проиессов

Для проверки автокорреляции в рядах, где присутствуют элементы и авторегрессии и скользящей средней, используется критерий Люнга-Бокса (LB) (Ljung-Box, 1978). Критерий LB рассчи-

к га X-m-p-q >

(7.22)

где т - максимальное число временных лагов, рассматриваемых в модели; р - порядок авторегрессий*; q - порядок процесса скользящей средней.

Проверка степени интеграции и стационарности

Как выше уже говорили, интеграция означает, в какой степени ряд должен быть преобразован с помощью разностей разного порядка, чтобы стать стационарным, что очень важно, так как многие методы анализа временных рядов подразумевают, что анализируемый ряд в действительности является стационарным. Проверка стационарности производится при помощи теста единичного корня (unit root)1. Если данные показывают единичный корень, то ряд является 7(1).

Ранее подход к проверке стационарности и степени интеграции был назван критерием Дики-Фуллера. С помощью этого критерия проверяется, имеет ли коэффициент а в уравнении (7.23) значение, равное единице или меньше единицы

Если а равно единице, то данные имеют единичный корень и степень интегрирования равна 1, т.е. ряд является 7(1). Если же а меньше единицы и больше нуля, то ряд стационарен, т.е. 7(0). В финансах а обычно бывает не больше 1, поскольку это подразумевает взрывные ряды. Такие ряды маловероятны, поскольку давление экономической среды не позволяет переменной принимать бесконечно большие значения.

Существуют некоторые теоретические проблемы с уравнением (7.23), поскольку возможность нестационарности нарушает допущения регрессии МНК, которая подразумевает постоянную дисперсию остатков. Например, рассмотрим уравнение Yt = Yt \ +

1 Проверка стационарности производится на основе анализа корней характеристического уравнения (единичный корень соответствует границе области стационарности) - Прим. научн. ред.

Y, - а, У, ! + е,-

(7.23)

+ и, = (Yt-\ + и, {) + щ = ... = щ + U( { + u, i + ... + щ. Поскольку остатки щ независимы и обладают постоянной дисперсией, то дисперсия Y, растет до бесконечности по мере того, как / приближается к бесконечности. Тогда требуется уравнение, выражающее изменения Y, следующим образом:

ДУ, = рг, + * (7.24)

где В = (а,-1).

Если р равно нулю, то говорят, что ряд Y обладает единичным корнем и является 7(1), и ряд ДY будет стационарным. Если же р меньше нуля, т.е. а меньше единицы, то сам ряд Y является стационарным, ДО).

Уравнение (7.23) предполагает нулевое значение средней и отсутствие тренда. В финансовых временных рядах часто уместно бывает включить положительную среднюю, потому что рисковые активы предполагают положительную норму прибыли. В результате получаем уравнение с положительной средней

Y, = <х0 + а, У, , + е (7.25)

которое может быть преобразовано так:

ДУ,= оо + РК,-, + е,. (7.26)

Третья форма уравнения, уместного в финансах, включает тренд следующим образом:

У, = <х0 + а,/-, , + уТ+е (7.27)

которое можно преобразовать в уравнение:

ДГоо + р/+уТ+в, (7.28)

Неуместно использовать традиционный /-критерий для проверки значимости р, поскольку, применяя регрессию для оценки р, мы предполагаем, что р меньше нуля (ос<1). Это видно, когда при р = 0 слишком большой процент оценок отвергается /-критерием. Таким образом, нулевая гипотеза существования единичного корня будет отвергаться слишком часто.

Кроме того, Филлипс (Phillips) (1987) показал, что такие единичные корни робастны при разной степени гетероскедастичности, но автокорреляция может создавать проблемы. Проблемы при проверке стационарности, когда существует автокорреляция остатков, решаются применением расширенного критерия Дики-Фуллера. При использовании этого метода прошлые