значения независимой переменной включаются в уравнение регрессии с лагом, достаточным для того, чтобы избавиться от автокорреляции остатков. Это уравнение может иметь вид:

AY, = сц, + Р, + bAYt x +y2AYt 2 + ... + у ДГ,-л + е,. (7.29)

Точная форма критериев значимости зависит от вида тестируемой модели, т.е. без1 положительной средней (уравнение (7.24)), со средней (уравнение (7.25)) и со средней и трендом (уравнение (7.28)).

Нулевая гипотеза без средней

При тестировании уравнения (7.24), которое подразумевает отсутствие средней, но учитывает автокорреляцию, как в уравнении (7.29), нулевая гипотеза будет записана так:

Я0: В, = 0.

Если В значительно меньше нуля, то /стационарен, т.е. 7(0).

Нулевая гипотеза будет отвергнута, если статистический критерий Pi/SEOi)1 имеет отрицательное значение, меньшее чем критическое значение из таблиц Дики и Фуллера (1979). Критические значения для уровня значимости 1% и 5% соответственно равны -2,58 и -1,95.

Если нулевая гипотеза принята, то ряд У - это случайное блуждание без сдвига.

В общем виде этого критерия учитывается размер выборки Т. Это достигается путем вычисления модифицированного критического значения по формуле

Ф + Ф/7 + фг/72,

где фю равен -2,57 (1%) или -1,94 (5%), ф, = -1,96 (1%) или -0,398(5%), ф2 - -10,04 (1%) или 0(5%). (Значения ф табулированы и имеются у МакКиннона (McKinnon) (1991)).

Нулевая гипотеза со средней

Проверка уравнения (7.26), которое включает среднюю, подразумевает использование того же статистического критерия

Pi/SE(Pi) и той же самой формулы критических значений. Однако значения ф теперь равны:

ф = -3.43 (1%) или -2,86 (5%); ф, = -6,00 (1%) или -2,74 (5%); ф2 = -29,25 (1%) или -8,36 (5%).

Нулевая гипотеза со средней п трендом

Проверка уравнения (7.28), включающего среднюю и тренд, подразумевает использование того же процесса, но при следующих значениях ф:

ф. = -3,96 (1%) или -3,41 (5%); ф, = -8,35 (1%) или -4,04 (5%); ф2 = -47,44 (1%) или -17,83 (5%).

Пример стационарности доходности обменных курсов валют

В качестве примера мы применим расширенный критерий Дики-Фуллера как к ежедневным уровням, так и к ежедневной рентабельности обменного курса доллара США - фунта стерлингов за период с 1992-1995 гг. Ниже приведены значения статистических критериев для регрессии уровней обменного курса с средней (уравнение (7.26)) и со средней и трендом (уравнение (7.28)), каждое значение для одного, двух и трех временных лагов.

Лаг Критерий (средняя)

1 -2,1307

2 -2,0508

3 -2,7975

Критическое

значение

-2,86

-2,86

-2,86

Критерий (средняя и тренд) -1,8430 -1,8443 -2,0365

Критическое

значение

-3,41

-3,41

-3,41

Критические значения относятся к 95%-ному уровню доверия.

Как мы уже знаем, нулевая гипотеза о том, что обменный курс является рядом 7(1), отвергается в пользу альтернативной гипотезы, что он представляет собой ряд 7(0), если статистический критерий больше отрицательной критической величины. Во всех приведенных выше случаях это не имеет места, таким образом, нулевая гипотеза принимается, т.е. обменные курсы представляют собой ряд 7(1).

Теперь посмотрим на доходность:

Критерий

(средняя)

-20,2910

-16,5143

-13,8929

Критическое Критерий

значение (средняя v

-2,86 -20,3090

-2,86 А -16,5463

-2,86 -13,9255

-20,3090 -3,41

-16,5463 -3,41

-13,9255 -3,41

Критерий Критическое

(средняя и тренд) значение

Здесь мы ясно видим, что в отношении доходности обменного курса нулевая гипотеза о том, что ряд является рядом /(1), отвергается в пользу альтернативной гипотезы, т.е. в пользу ряда ДО). Поэтому данные доходности относятся к стационарным рядам.

Выше, в гл. 2, мы обсуждали корреляцию как меру линейной зависимости между парами переменных. Теперь, когда мы уже ввели понятие стационарности, ясно, что для того, чтобы коэффициент корреляции являлся статистически значимым показателем связи между двумя временными рядами, необходимо выполнение условия их стационарности. Мы говорим, что два временных ряда должны быть совместно ковариационно стационарными. Отдельная переменная является ковариационно стационарными, если и E(Xt) и a2 (Xt) - конечные константы для всех значений /, коэффициент корреляции между Xt и Х,. является тем же самым для всех t, и, таким образом, ковариация двух наблюдений X зависит только от времени между наблюдениями. Чтобы две переменные были совместно ковариационно стационарными, индивидуальные ряды должны быть ковариационно устойчивыми, а ковариация Xt и Yt должна быть неизменной при всех значениях /, т.е. чтобы cov, Yt) не зависела от /.

Проблема использования коэффициента корреляции в финансах заключается в том, что нет особых причин считать финансовые временные ряды ковариационно стационарными. Например, валюты или фондовые биржевые индексы в странах со слабыми экономическими связями вряд ли будут иметь устойчивую взаимосвязь друг с другом. Хотя здесь может присутствовать долгосрочная взаимосвязь, которую требуется определить. Следовательно, нужна иная мера взаимосвязи между перемен-

КОПНТЕГРАиПЯ

Пнтуптпвное ввеаенпе