ными, которая может использоваться в свете практических реалий того, что ряды, не будучи совместно ковариационно стационарными на коротком промежутке времени, демонстрируют долгосрочное равновесие. Это понятие соответствует коинтеграции.

Коинтеграция описывает долгосрочную линейную связь между несколькими переменными, которые демонстрируют равновесное отношение друг с другом. Рассмотрим пример с двумя переменными, например, уровень индекса FTSE 100 и курс фьючерсов FTSE 100, которые обозначим соответственно как Хи. Y. Есть экономические причины полагать, что в долгосрочном плане они будут иметь равновесную связь друг с другом. Чтобы понять это, рассмотрим модель арбитража наличного и фондового рынков, введенную в гл. 1, для объяснения ценообразования финансовых фьючерсов. Что произойдет, если цена фьючерса будет намного выше или ниже теоретического уровня? Если цена фьючерса выше справедливой, то арбитражеры будут продавать фьючерсы и покупать индексы, тем самым опуская цену на фьючерсы до равновесного уровня. И наоборот, если цена фьючерса ниже справедливой, то арбитражеры будут продавать индексы и покупать фьючерсы.

Предположим, что равновесное отношение уровня цены на фьючерс к уровню индекса равно 1,1. Это можно выразить так:

Y=\,\X, (7.30)

но можно представить и так:

К- 1,1 ЛГ- 0. (7.31)

Это соотношение верно только для равновесия, на краткосрочных интервалах каждая из этих переменных будет изменяться по-своему и, возможно, будет являться рядом 7(1). Но даже если оба ряда относятся к 7(1), если существует долгосрочное равновесие между ними, то третья переменная z, заданная как

Y- 1,1*= г, (7.32)

будет стационарной и будет измерять, в какой степени переменные X и Y выведены из равновесия. Переменную z называют ошибкой равновесия, потому что под действием тех сил, что устанавливают равновесие, она устремится к своему среднему значению.

Таким образом, если существует равновесное отношение, то возможно найти такую комбинацию данных двух переменных,

т.е. aY + ЬХ = z, при которой z будет стационарной. Как выше уже говорили, если z в самом деле стационарна, то ее значение колеблется вокруг постоянной средней, и если z отклоняется от своего среднего значения, то имеет тенденцию возвращаться к нему. Однако на краткосрочных интервалах переменные могут и не изменяться вместе и, таким образом, может не быть краткосрочного равновесия, но-все краткосрочные отклонения будут сводиться рыночными силами в долгосрочном плане к нулю. Это показано на рис. 7.9.

Равновесное отношение

Время

Рис. 7.9

Если существуют такие а и Ь, что aY + ЬХ является 7(0), то у + + (Ь/а)Х будет стационарно. Если мы имеем функцию Y+ $Х= z, где z стационарна ии У являются 7(1), то имеется коинтеграция между X и Y. В часто называют коэффициентом коинтеграции.

Таким образом, коинтеграция описывает долгосрочное соотношение двух или более переменных и проистекает из того, что эти переменные демонстрируют общий стохастический тренд во времени.

Одна из задач анализа коинтеграции состоит в анализе преимуществ от диверсификации портфеля в дополнение к корреляционному анализу структуры портфеля с точки зрения его математического ожидания и дисперсии. В частности, анализ коинтеграции позволяет выявить существование долгосрочной зависимости между переменными и скорость, с которой краткосрочные отклонения от долгосрочного равновесия сводятся назад к равновесию (Clare и др., 1995).

Вторая задача анализа коинтеграции была связана с выявлением структурного несовершенства рынков. Смотрите, например, работы Chelley-Steeley и Pentacost (1994) и Cloudhry (1994). Третья функция состояла в обеспечении возможности прогнозирования путем применения так называемой модели исправления ошибок (Alexander, 1992).

Копнтеграипя между двумя переменными

Коинтеграция двух переменных имеет место, когда порядок интеграции каждого ряда равен Ъ, но некая линейная комбинация которых дает ряд с порядком интегрирации, равным а, где а < Ь. В таком случае говорят, что два ряда 1(b) коинтегрированы. Для практических целей в финансах принимают b = 1 и а = 0. Таким образом, коинтегрированные ряды будут 7(1) и их линейная комбинация будет рядом 7(0).

Для примера рассмотрим обменные курсы Z/DM, и E/FFR. Предположим, что каждый из курсов является коинтегрирован-ным рядом первого порядка 7(1), но если из двух рядов мы можем вывести переменную z, Z = Yt - XXt, которая является рядом 7(0), т.е. колеблется вокруг постоянной средней, то говорят, что X и Y коинтегрированы. Параметр X называется константой коинтеграции.

Коинтеграция характеризует равновесное отношение двух переменных, так как чтобы 7 было устойчиво, при X и Y, отклоняющихся от их равновесного отношения, они должны будут вернуться к нему, так что z колеблется вокруг определенного (постоянного) среднего значения. Эта тенденция возвращения к равновесию известна как исправление ошибки. Модель этого процесса соответственно называется моделью исправления ошибки и соответствует интересному свойству стационарности - возвращению стационарных рядов к средней величине.

Чтобы понять идентичность стационарности и возвращения к. средней, рассмотрим уравнение (7.33), используемое для проверки на стационарность, пренебрегая эффектами автокорреляции

Y, = aY, i + 6,. (7.33)

Предположим, что постоянное среднее значение равно 0, а = 0,8 и произошло внезапное отклонение от этой средней, так что