значение Yt.\ было равно 2. Если пренебречь случайными эффектами, т.е. величинами е, то Y, и Yt+ будут равны:

У, = 0,8(2)= 1,6;

, = 0,8(1,6)-1,28.

С другой стороны, если бы значение было равно -3, то Yt и Yt + j были бы равны соответственно:

У, = 0,8(-3) = -2,4;

Yt+l -о,8(-2,4)--1,92.

Таким образом, мы видим, что после положительного отклонения от постоянной средней величины следуют отрицательные изменения, и величина этих изменений является функцией размера положительного отклонения. Аналогично отрицательное отклонение вызывает положительные изменения. Таким образом, независимо от изменения и его знака последующие изменения будут приводить значение переменной к ее средней величине.

Можно обобщить это, сказав, что при а < 1 ряд будет иметь тенденцию возвращаться к среднему значению. Теперь в случае коинтегрированной регрессии в рядах динамики, ошибки равновесия z возвращаются к их среднему значению и две интегрированные переменные возвращаются к равновесию.

Критерии коинтеграции двух переменных

Первая ступень анализа коинтеграции - это оценка константы коинтеграции (при условии, что она существует). В случае с двумя переменными может быть использован МНК. Кроме того, существует другой, более сложный метод, использующий методы оценки наибольшего правдоподобия для определения вектора коинтеграции временных рядов. Последний метод сложнее, преимущество его в том, что он имеет общий вид для многофакторных моделей. Здесь мы будем применять МНК. Далее проследим разработку модели исправления ошибок. Затем последует метод, разработанный Йохансеном (Johansen, 1988) и Йохансеном и Йе-зулиусом (Johansen and Jesulius, 1990), который использует метод наибольшего правдоподобия.

Признаки коинтеграции двух переменных:

1) их индивидуальные временные ряды должны быть 7(1);

2) их линейная комбинация должна быть 7(0).

Обратите внимание на то, что не все переменные с рядами 7(1) обладают коинтеграцией, а только те, линейная комбинация которых является рядом 7(0). Таким образом, проверка коинтеграции рядов динамики происходит в два этапа.

Первый этап

Определить, что переменные являются рядом 7(1), можно при помощи расширенного критерия Дики-Фуллера. Исследователь должен произвольно ввести достаточно предшествующих значений X и Y, чтобы превратить остатки в следующих регрессиях в белый шум

где и В и у аналогичны (а-1) в уравнении (7.3).

Поскольку мы применяем расширенный критерий Дики- Фуллера, то надо проверить на значимость р и у с помощью /-критерия для Yt+i и Х{-\ соответственно. Если любой из этих параметров не будет значимо отличаться от нуля, то соответствующий ряд (X или Y) будет 7(1). Исследователь может ввести в уравнение (7.34) среднее значение или тренд, как это уже обсуждалось выше при рассмотрении интеграции.

Второй этап

Выяснив, что данные ряды являются рядами 7(1), мы принимаем МНК в виде, известном как регрессия коинтеграции

Эта форма выделяет остатки и так что можно проверить, являются ли они стационарными. Если мы сложим Xq и щ, чтобы получить Zt, то получим У, - XXt = Zt и нужно будет проверить стационарность z- Если z в самом деле стационарна, то X будет вектором коинтеграции, что уже обсуждалось ранее.

ДУ, = у/-, , +20Л/-, , + Ел

(7.34)

Y, = Хо + XX, + иг

(7.35) -

Примечание: обычно регрессия X no Y отличается от регрессии Y по X, но в случае коинтеграции временных рядов долгосрочная коинтеграция между переменными равна 1, и обе регрессии по сути одинаковы.

Третий этап *

Определим, являются ли остатки рядом /(0). Это достигается использованием следующей регрессии

Ди, = Р , + е{. (7.36)

Это выражение аналогично уравнению (7.24), но скорее с и, чем с К в качестве независимой переменной. Проверяется нулевая гипотеза, что не существует коинтеграции во временных рядах, т.е. р = 0. Причина в том, что при р, незначимо отличном от нуля, щ является рядом 7(1), и отсюда нет коинтеграции между рядами Y и X. Мы не можем использовать тот же критерий значимости для Ut, что и для в уравнении (7.23), потому что сами остатки уже являются результатом оценки. Поэтому мы должны использовать таблицы МакКиннона (1991).

Этот критерий имеет ряд недостатков. Во-первых, он так же страдает от смещения малых выборок, как и регресии. Во-вторых, он скорее основан на минимизации дисперсии остатков, чем на максимизации стационарности. Однако смещение малой выборки не должно быть проблемой в случае с финансовыми временными рядами, так как размер выборок там обычно достаточно велик.

Мопель исправления ошибки

Грейнджер (Granger, 1986) и Ингл и Грейнджер (Engle and Granger, 1987) показали, что если переменные коинтегрированы, то в них включается модель исправления ошибки. Эта модель описывает процесс, в ходе которого переменные 7(1) в случае отклонения возвращаются к равновесию. Например, рассмотрим отношения между курсами двух валют. В течение короткого промежутка времени предпочтения инвесторов могут заставить одну валюту возрасти относительно другой. В другой момент времени другая валюта может быть более привлекательной. В обоих случаях валютные курсы отходят от равновесного положе-