ния. Однако рыночные силы заставят их вернуться к долгосрочному равновесию. В нашем примере если валюта становится слишком сильной, то политическое и экономическое давление может привести к понижению уровня процентных ставок в соответствующей стране. Если же валюта чрезмерно ослаблена, то процентные ставки в соответствующей стране могут возрасти или экспорт из этой страны возрастет, а импорт сократится до того уровня, пока долгосрочное равновесие снова установится. Модель процесса возврата называется моделью исправления ошибки.

Теперь должно быть ясно, почему коинтеграция в рядах динамики подразумевает модель исправления ошибок. Переменная Z должна быть стационарной, если переменные /(1) коинтегрированы. Для того чтобы быть стационарной, z должна колебаться вокруг постоянного среднего значения с постоянной дисперсией. Это подразумевает, что в случае отклонений Y к X от равновесного соотношения должны существовать силы (процесс исправления ошибки), приводящие Y к X к равновесию. Отсюда мы видим, что модели исправления ошибки моделируют коин-тегрированный процесс и по сути включены в формальный результат, известный как представительная теорема Грейнджера (Grander).

авухстааппнып прсшесс Пнгла п Грепножера

Регрессия полезна, когда анализируются только два ряда, потому что в этом случае может быть не более одного коэффициента коинтеграции. Ингл и Грейнджер (1987) разработали двухста-дийный процесс оценки модели исправления ошибки.

Первая стадия - оценка регрессии коинтеграции временных рядов, как описано выше.

Вторая стадия - построение следующей модели исправления ошибки

АХ, =a,Z, , + ВиАУ, , +

CuAX, j +е,;

(7.37)

C2iAX, i + е, ,

где ai и аг Ф 0.

Таким образом, мы можем использовать МНК для оценки текущих А У, и АХ, от прошлых наблюдений Y и X, а также значения коинтегрированной переменной.

В случае с многими переменными может быть больше одного вектора коинтеграции. Следовательно, нужна методология, которая бы определила структуру*всех векторов коинтеграции. Такой процесс был разработан Йохансеном (1988) и Йохансеном и Йезулиусом (1990). Он определяет множество временных рядов в качестве векторного авторегрессионного (VAR) процесса. Модель исправления ошибки разрабатывается следующим образом.

Векторное авторегресспонное определение модели исправления ошибки

Для рассмотрения этой разновидности модели исправления ошибки возьмем в качестве примера двухфакторный векторный процесс (AR3) (т.е. такой, в котором значения переменных представляют собой линейную комбинацию последних трех наблюдений). Это может быть записано таким образом

X, = а,*, , + a2Xt 2 + а3*, 3 + Ьх Y, , + А>Г .2 + *3У, 3, (7.38)

Yt = + d2X, 2 + dyX, 3 + е, Y, x + e2Y, 2 + е3У, 3.

Это достаточно сложное уравнение может быть выражено в матричной форме

Y,-i

+ А-

Х,-2 Y,-2

Х,.г Y,-3

где А и В - это матрицы 2 2. Например, А\ дующего вида:

Для анализа мы должны преобразовать

У, = аГ,

в первые разности, т.е.

Д Г, = (1-0)1!.

(7.39) это матрица сле-

(7.40)

(7.41) (7.42)

Далее мы должны преобразовать модель через разности. Это можно сделать следующим образом. Во-первых, мы вычитаем

из обеих частей уравнения, преобразуя левую сторону уравнения в разности, учитывая, что

(7.43)

Yt-\

При этом мы получаем: АХ, AY,

= [A,-I}

+ А-

Х,-2 Yf-2

Xt-\

Л-!.

+ A:

Х,-з

Xt-3

(7.44)

(7.45)

Учитывая, что А, - это матрицы 2 2, мы можем преобразовать это выражение следующим образом:

АХ, AY,

+ А:

Х,-з у,-з

. (7.46)

Открывая скобки, получаем: АХ,~

Х,-з

Гг-з.

и группируем члены с общими множителями, например

В результате получим выражение \X,-i1 \~Х, 2

у,-1

(7.47)

(7.48)

(7.49)

Схожая процедура применяется по отношению к матрицам A3. В результате получаем

АХ, AY,

(7:50)