Как мы уже говорили выше, полученная матрица Л + А2 + + A3 - /] - это матрица 2 2, обозначим ее П. Матрицу \А\ - /]

обозначим А\ и матрицу [А; + А2 - /J - /42. В результате имеем

А, Д

+ /41.Д

*,-2 П-2

*,-3 7,-3.

(7.51)

(7.52)

Мы видим, что VAR - процесс уровней рядов - может быть записан как VAR - процесс разностей за исключением одного члена

Л-з.

Ранг матрицы П дает число векторов коинтеграции в рядах динамики (ранг матрицы - это число линейно независимых рядов). Таким образом, ранг матрицы говорит о том, что следует делать. Если П имеет нулевой ранг, то матрица П - нулевая, и мы по сути имеем VAR-процесс в ряде разностей. Это показывает, что коинтеграции в рядах данных нет, и для достижения стационарности требуется нахождение разностей.

Если матрица П - полная, то ряды уже стационарны (матрица П имеет обратную, и, таким образом, выражение может быть решено для уровней, выраженных в разностях. Это будет верным только, если ряды уровней /(0)).

Если ранг П лежит между 0ия(0</я<я, в нашем случае п = 2, т = 1), то существует т векторов коинтеграции. Эти векторы описывают долгосрочные равновесные соотношения переменных. Модель исправления ошибки включает в себя краткосрочные изменения, которые поддерживают долгосрочное равновесие.

Чтобы лучше понять это, разложим матрицу П на матрицу а и у.

Так что

Если

А, 3

[У\ Уг]-

m 7 21

lYl У2

(7.53)

(7.54)

(7.55)

стационарно, то существует коинтеграция. СЦ и а2 интерпретируются как скорость приведения процесса к равновесию. Таким образом, модель исправления ошибки будет

(7.56)

где Z является 7(0).

Наиболее точное образование матрицы П получается при методе наибольшего правдоподобия Йохансена (1988) и Йохансена и Йезулеуса (1990), который применяется к коинтеграции нескольких временных рядов.

Коинтеграция нескольких переменных

Теперь мы можем применить анализ коинтеграции к нескольким переменным, например X, Ум W. Существуют четыре возможные линейные комбинации этих переменных, например Xи У, Хм W, Y и W, X, К и W. Однако мы заинтересованы только в независимых комбинациях, так как только они могут быть коинтегрированы. Любая комбинация векторов коинтеграции сама по себе будет вектором коинтеграции. Таким образом, мы можем иметь не более л-1 векторов коинтеграции. Поскольку у нас три переменные, то мы имеем две независимые комбинации.

Теперь рассмотрим упомянутые выше четыре комбинации.

Мы можем доказать, что если X + К коинтегрированы и. К и W коинтегрированы, то должна существовать коинтеграция в рядах X, Ум Wm в рядах Хм W.

Так как X w У коинтегрированы, то существуют такие a, b и с, что аХ+ ЬУ+ с является 7(0).

Поскольку коинтегрированы К и W, то существуют такие р, q и г, что рУ+ qW+ /-является 7(0).

Сложение дает аХ + (р + b)Y + qW + (с + г), что является 7(0), отсюда существует коинтеграция X, Ум W.

Умножение на р и b соответственно и вычитание дают ряд арХ - bqW+ (cp-br), который также является 7(0), а значит между А и W существует коинтеграция.

Таким образом, существует не больше двух независимых векторов коинтеграции.

Для определения векторов коинтеграции в случае многих переменных и для построения модели исправления ошибок воспользуемся методом наибольшего правдоподобия Йохансена. Модель исправления ошибок для многих переменных - это всего лишь общий вид модели для двух переменных. Опять мы начнем с построения модели VAR и приведем ее к разностям. Однако на этот раз векторы будут n х 1, а не 2 х 1, и матрицы будут л х л, а не 2 х 2.

Можно записать это в матричной форме:

ДЛ;= А\ АЛГ, , + А\ &Х, 2 + ШГ, з, (7.57)

здесь подчеркнутые переменные - это векторы.

В нашем случае мы допускаем три элемента AR, так что конечное уравнение включает лишь два временных лага, точно так же, как и в упомянутом выше примере. Однако матрица П - это матрица n х л.

Число отдельных векторов коинтеграции переменных определяется рангом матрицы П. Если ранг равен т (0 < т <п), то существует т векторов коинтеграции.

В случае существования векторов коинтеграции П может быть разложена на две матрицы - п * т н т * п. Назовем эти матрицы а и у, и П будет произведением а и у, т.е. П = осу. Ряды у таковы, что для каждого ряда у, у х Х, будет ДО). Ряды матрицы у и формируют векторы коинтеграции. Таким образом, получаем:

уХ.3 = Z, 3.

Z, 3 будет /(О)-вектором порядка т, если существует т векторов коинтеграции. Опять-таки матрица а представляет скорость приведения к равновесию.

Проверка коинтеграиии нескольких переменных

МНК не подходит для определения векторов коинтеграции в условиях многих переменных. Более подходящий тест составляющих вектора коинтеграции - это вероятностное отношение Йохансена, или тест следа - ( trace test) (Йохансен, 1988; Йохансен и Йезулиус, 1990), который привлекает модель ис-