Оценочное уравнение будет: ДНК$, - <xZ, 2 = В0 + #,ДНК$ , + ДМБ, + #3ДТВ, , + Д,ДРР, , + С,ДНК$, 2 + С2ДМБ, 2 + С3ДТВ, 2 + C4AFP, 2

Результаты рефессии ДНК$,-aZ, 2= .

= 0,0806 - 0,3353 ДНК$, + 0,3079 ДМБ, + 0,0274 ДТВ , + 0,0877 AFP, (28,88) (-3,45) (1,20) (3,19) (4,03)

-0,2524 ДНК$, 2 + 0,3489 AMD, 2 + 0,0161 ДТВ, 2 + 0,0429 AFP, 2. (-2,65) (1,36) (1,87) (2,01)

Параметры, относящиеся к первому и второму временным лагам малайского доллара и тайского бхата, незначимы при 5%-ном уровне значимости. Следовательно, их можно удалить и оценивать модель исправления ошибок с меньшим числом переменных.

ОБОБЩЕННАЯ

АВТОРЕГРЕССПОИИАЯ УСЛОВНАЯ ГЕТЕРОСКЕОАСТПЧНОСТЬ (GARCH)

В связи с возрастающей неустойчивостью финансовых рынков и растущим значением опционов в управлении рисками возрос интерес к нестационарности финансовых рисков. Мандлеброт (Mandlebrot, 1963) отметил, что большие изменения цен активов влекут за собой большие изменения в сторону как возрастания, так и убывания, в то время как малые изменения влекут малые изменения. В частности, финансовые переменные имеют спокойные периоды, за которыми следуют периоды сравнительной нестабильности, т.е. нестабильность является непостоянной, а изменяющейся во времени. Методы, разработанные в 1980-х (Engle, 1982; Bollerslev, 1986; Nelson, 1991), дают аксонометрические инструменты предсказания будущей нестабильности. Ингл ввел понятие авторегрессионной условной гетеро-скедастичности (Autoregressive conditional heteroscedasticity - ARCH). Боллерслей обощил этот процесс до общей ARCH, или GARCH. , . ,;t

При условии нестабильности, изменчивой во времени, со стороны не предрасположенных к риску экономических посредников разумно требовать изменяющуюся во времени премию за риск в качестве вознаграждения за принятие на себя финансового риска. Модель ARCH математического ожидания, разработанная Инглом и другими (1987) и развитая Нельсоном (1991), задает рамки анализа влияния риска, изменяющегося во времени, на премии за риск, требуемые посредниками.

Вначале рассмотрим условные моменты временных рядов. Затем перейдем к анализу ARCH и GARCH и рассмотрим применение GARCH на примере предсказания изменчивости обменного курса US$. После этого перейдем к применению метода E-GARCH на том же примере, затем рассмотрим модель GARC-M и ее применение к изменяющимся во времени премиям за риск, а в заключение мы перейдем к рассмотрению того, как методы GARCH двух переменых позволяют определять изменяющиеся во времени дисперсии и коинтеграции при управлении рисками.

Условные моменты временных рядов

Для начала определим некоторые основные понятия. Традиционное обозначение математического ожидания случайной переменной Y,:

р. в этом случае называется безусловным математическим ожиданием. Это всего лишь вероятностно взвешенное среднее ожидаемых значений случайной переменной. Таким же образом безусловная дисперсия определяется как

Однако мы заинтересованы в условной средней т, и в условной дисперсии, которую обозначают ft,. Условная средняя - это математическое ожидание случайной переменной, когда ожидания обусловлены информацией о других случайных переменных. Эта средняя обычно является функцией этих других переменных. Аналогично условная дисперсия - это дисперсия случайной переменной, обусловленная информацией о других случайных переменных.

EXJ.) = ц.

(7.60)

о2 = £[(/-,-ц)2].

(7-61)

Условное математическое ожидание формально записывается

т,= Е[ /,!/; ,]. (7.62)

Вертикальная черта обозначает при условии .

Из уравнения видно, что mf - это математическое ожидание У обусловленное множеством данных F, доступных в предыдущий период времени. Множество F может включать любые источники информации. Естественный источник - это прошлые значения У,. Таким образом, мы могли бы, например, найти условную среднюю т рассчитав уравнение регрессии У, по прошлым значениям Уь с лагом в один временной период.

Уао + оцУ , 4 е. (7.63)

Тогда т, определяется как сумма щ + щУ,-\ и является, таким образом, изменяющейся во времени оценкой средней величины. Также видно, что это уравнение - AR(1) процесс.

Эта средняя величина - условное иатематическое ожидание, поскольку обусловлена предыдущими значениями У. Мы можем увеличить число временных лагов либо по причине априорного знания структуры лагов, либо пока не исчезнет автокорреляция остатков.

Условная дисперсия определяется следующим образом:

A,2 = £[(y,-m,)2/,]. (7.64)

Как мы уже видели разность между Y, и средней величиной равна е,. Отсюда можно вывести условную дисперсию А, как функцию прошлых остатков уравнения условной средней, возведенных в квадрат. Таким образом, например, мы можем найти значение А, из уравнения

А,2 = ао + а,е2, , (7.65)

при условии только одного временного лага.

Модели ARCH и GARCI1

Итак, мы разобрали все составляющие моделей ARCH и GARCH. Начнем с однофакторной ARCH, затем перейдем к од-нофакторной GARCH и закончим многофакторными вариантами этих моделей.