ОаноФакторная модель ARCH

Среднее квадратическое отклонение, как мы определили его в гл. 2, является безусловным средним квадратическим отклонением. Мы полагали, что изменчивость была постоянна на всем протяжении истории ряда данных. Таким образом, мы предполагали, что дисперсия данных была стационарной. В действительности же известно много временных рядов финансовых показателей, обладающих дисперсией, изменяющейся во времени. Из гл. 6 мы знаем, что это условие называется гетероскедастичностью. Процесс ARCH был впервые разработан Инглом (1982) для отражения изменчивости дисперсии во времени. Одно из многочисленных применений этой модели - моделирование волатильности доходности активов, которая, как известно, изменяется во времени.

Определение характеристик ARCH в рядах динамики начнем с моделирования условной средней величины. Для этого определим авторегрессионную модель доходности. Модель AR(p) предполагает, что требуется р временных лагов независимой переменной. Покажем это на примере модели AR(1), предполагая, что текущий уровень доходности зависит только от одного предыдущего значения доходности, например:

Конечно, можно включить любое количество предыдущих значений /* пока не исчезнет автокорреляция е,. Если же г, - значение случайной переменной - задается выражением сю + ot/v i, то оно является условной средней, поскольку обусловлено предыдущим значением (или значениями rt). Формула может быть представлена в общем виде, чтобы принять во внимание р лагов,

Цель моделирования условной средней состоит в том, чтобы определить ряд квадратов остатков (е2), на основании которых можно найти условную дисперсию. Вспомните из изложенного в гл. 6, где предполагалось, что остатки в уравнении регрессии, рассчитанной по методу наименьших квадратов, обладают постоянной (равной нулю), средней и средним квадратическим отклонением, равным е (гомоскедастичным). Таким образом,

Г, = Оо + <V, ! + Е,

(7.66)

следующим образом:

(7.67)

дисперсия остатков будет равна ej. При использовании ARCH предполагается, что остатки е, обладают непостоянной дисперсией, обозначенной Л2. Таким образом, е,- = -Jhf z , где z - это

единичная нормаль.

Таким образом, на оснований временных рядов квадратных остатков уравнения условной средней можно написать следующее уравнение условной дисперсии:

Л,2 =Po + Pib?. (7.68)

где h} - условная дисперсия. Здесь мы опять предполагаем наличие только одного временного лага. Таким образом, h} - условная дисперсия - является авторегрессионным процессом квадратов остатков, авторегрессионной условной гетероскедастичостью Этот метод можно представить в общем виде с любым числом (р) лагов при расчете квадратов остатков, включенных в модель:

А,2 =Ро+2>е2-/ <7-69>

Эта форма записи ARCH взята у Ингла (1982) и называется линейной моделью ARCH(/>), где р - число лагов при расчете значений квадратов остатков, включенных в модель.

Проверка оанофакторноп ARCH

Для проверки существования ARCH необходимо возвести в квадрат ошибки из первоначального уравнения условной средней. Этот ряд квадратов регрессируется по константе и прошлым значениям квадратов с лагом р. Критерием является Т R2, где Т - размер выборки и R2 - коэффициент множественной регрессии из уравнения регрессии квадратов ошибок. Этот критерий подчиняется х2 РаспРеДелению. Число степеней свободы равно числу временных лагов в регрессии. Если значение критерия больше критического значения из таблиц у}, то нулевая гипотеза о том, что ARCH не присутствует, отвергается.

ОаноФакториая модель GARCH

Одна из проблем, связанных с формулировкой ARCH - это то, что величины <х$ всегда должны быть неотрицательны для того,

чтобы условная дисперсия всегда была положительной. Однако при включении большого числа лагов, что требуется для моделирования некоторых процессов, ограничение неотрицательности может быть нарушено. Раньше обычно старались убедиться в том, что число лагов было произвольно ограничено применением ad hoc (специальной) линейно убывающей структурой коэффициентов.

Боллерслев (1986) обобщил модель ARCH путем включения предыдущих значений условной дисперсии, чтобы избежать длиннолаговой структуры ARCH(), разработанной Инглом (1982). Таким образом, обобщенная ARCH, или GARCH(/>, q), определяет условную дисперсию как линейную комбинацию р предыдущих квадратов остатков из уравнения условной средней и q лагов предыдущих значений условной дисперсии:

где а, В и у не меньше нуля во избежание вероятности появления отрицательных значений условных дисперсий.

Это и является уравнением GARCH. Оно показывает, что текущее значение условной дисперсии является функцией от константы - некоторого значения квадратов остатков из уравнения условной средней плюс некоторое значение предыдущей условной дисперсии. Например, если условная дисперсия наилучшим образом описывается уравнением GARCH (1, 1), то объясняется это тем, что ряд является AR(1), т.е. значения е рассчитаны с лагом в один период и условная дисперсия тоже рассчитана с таким же лагом.

Рассмотрим применение GARCH на примере предсказания изменчивости доходности стерлинговых активов в долларах США.

Модель условного математического ожидания здесь будет моделью AR(2) и параметры регрессии следующие:

(7.70)

rus$ = °0 + а1Г-1 + a2rt-2 + Е,

rAis$ = 0,00005 + 0,01927 г, - 0,0571г, 2, (0,285) (0,502) (-1,526)

В скобках показаны значения /-критерия.