Уравнение условной дисперсии и значения /-критерия выглядят следующим образом:

А,2 = 0,0 + 0,04643e2, i + 0,9429A2, i-(2,062) (3,572) (57,178)

Этот результат показывает, ч%о условная дисперсия в момент времени / значимо определяется при помощи одного временного лага квадратов остатков уравнения условной средней и величиной самой условной дисперсии с лагом, равным 1.

Экспоненциальная модель GARCH: E-GARCI1

В модели GARCH (р, q) условная дисперсия зависит от размера остатков, а не от их знака. Хотя существует свидетельство, например у Блэка (1976), что волатильность и доходность активов обладают отрицательной корреляцией. Таким образом при росте цен на ценные бумаги при положительной доходности волатильность падает, и наоборот, когда цена активов падает, приводя к снижению доходности, то волатильность растет. В самом деле, периоды высокой волатильности связаны со спадами на фондовых рынках, а периоды низкой волатильности ассоциируются с подъемом на рынках.

Нельсон (1991) разработал Е-GARCH для следующей ситуации:

log(A2) = о + + У,~ + £р/ log(A2.,.) . (7.71)

/=1 -i i=\ t-i , = 1

Заметьте, что e включаются в уравнение как в виде фактических необработанных данных, так и по модулю, т.е. в форме I е . Таким образом, E-GARCH моделирует условную дисперсию как асимметричную функцию значений е. Это позволяет положительным и отрицательным предыдущим значениям иметь различное влияние на волатильность. Представление в логарифмическом виде позволяет включать отрицательные значения остатков, не получая при этом отрицательную условную дисперсию.

Заметьте, что условные средние квадратические отклонения (A, i) включаются в качестве деноминаторов в правой части уравнения.

Мы использовали модель E-GARCH применительно к той же информации, что и в случае с GARCH. Параметры регрессии и соответствующие значения /-критерия оказались следующисми:

log(A2) = -0,01097 + 0,118+ 0,2496+ 0,9885 log(A2 ;) .

t-i

(-1,807) (5,306) (2,070) (164,077)

Результаты показывают значимость асимметричной трактовки остатков из уравнения условной средней. Это также подчеркивает значимость GARCH переменной.

Модель GARCI1-M

Если рискованность финансовых активов изменяется во времени, то было бы логичным предположить, что требуемая инвесторами доходность будет также изменяться во времени. Поскольку все активы, включая безрисковые, обладают доходностью не ниже безрисковой (обычно за безрисковую доходность принимается доходность краткосрочных государственных облигаций с нулевым купоном, таким, как казначейские векселя), то уместно будет смоделировать премию за риск. Премией за риск считается разность между доходностью рискового актива и актива, не несущего риск.

Модель GARCH-M, разработанная Инглом и др. (1987), выражает условную среднюю как функцию oi условной дисперсии, так же как и авторегрессионную функцию прошлых значений рассматриваемой переменной. Общая разновидность GARCH первоначальной модели ARCH выглядит следующим образом:

у, = р + 5А, +е,;

tf-T+ £ ?-i+i/£i. (7 72)

;=i /=1

Заметьте, что в уравнении условной средней дисперсия преобразована в условное среднее квадратическое так, что она выражается в тех же самых единицах измерения, что и премия за риск.

Ингл и др. (1987) применили формулировку ARCH приведенной выше модели к премиям за риск одно- и шестимесячных

казначейских векселей по отношению к предположительно безрисковым трехмесячным векселям, и к 20-летним корпоративным облигациям против трехмесячных казначейских векселей. В последнем случае в уравнение регрессии математического ожидания включают третью переменную, чтобы отразить спред доходностей трехмесячных и 20-летних облигаций.

Эта же модель была применена Френчем и др. (French et al, 1987) к премии за риск американских акций за период 1928-1984 гг. Они использовали модель условной дисперсии GARCH (1,2).

Проверка моаелп GARCH

Для проверки адекватности модели GARCH необходимо проверить стандартизованные остатки е/а, где о - условное среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое по модели GARCH и е - остатки в уравнении условного математического ожидания. Если модель GARCH достаточно хорошо определена, то стандартизованные остатки будут независимы и идентично распределены. Этот критерий проводится в два этапа.

Первый этап - расчет критерия Люнга-Бокса (LB) для квадратов значений первичных данных. Это влечет за собой расчет к коэффициентов автокорреляции на основе Т наблюдений. Затем коэффициенты автокорреляции у возводим в квадрат, получая у2. Критерий LB рассчитывается следующим-образом :

где m - максимальный временной лаг коэффициентов автокорреляции.

Второй этап - расчет критерия LB по стандартизованным остаткам. Таким образом, каждый остаток делится на соответствующее значение условного среднего квадратического отклонения. Рассчитываются коэффициенты автокорреляции и возводятся в квадрат. Критерий LB рассчитывается следующим образом:

(7.73)

(7.74)