Предполагается, что компоненты независимы и подчиняются нормальному распределению с неизвестными дисперсиями. Таким образом, функция правдоподобия будет функцией от этих неизвестных дисперсий

вместе с элементами матриц А\ ,А2 и П.

Теоретически мы должны раскрыть уравнение (П.7.17) для получения точного выражения компонентов е выраженных в тех же параметрах, и отсюда построить и максимизировать функцию правдоподобия. На практике это было бы довольно сложно и эффективнее будет использовать для достижения этого матричную алгебру. Для этого был разработан порядок Йохансена.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.2.

Каноническая корреляция и регрессия

В регрессионном анализе мы стараемся смоделировать зависимую переменную как линейную комбинацию совокупности независимых переменных. Наша задача состоит в том, чтобы выбрать лучшую линейную комбинацию, которая достигнет наилучшего соответствия моделируемых значений наблюдаемым. Когда же сами независимые переменные являются неизвестными линейными комбинациями других переменных, тогда нам нужно воспользоваться каноническим анализом.

В нашем анализе многофакторной коинтеграции мы показали, что при помощи простых алгебраических действий можно выразить векторный авторегрессионный процесс X, = AlXr l + А2К1-2 + АтЛх-ъ в следующем виде

ДА, - Л*дЛ, 1 л2 &Л, 2 + 1Ц, з. (П.7.18)

Мы сказали, что если П имеет полный ранг, мы можем найти решение для Х, 3. Это будет значить, что составляющие X являются ДО), поскольку будут выражены в виде разностей. Но это противоречит первоначальному предположению, что они Д1). Это значит, что составляющие X в действительности являются стационарными, что для X найдены изменения разности и что правильная модель - это VAR-модель в уровнях.

Мы сказали, что если ранг П равен нулю, то мы имеем VAR в разностях - стандартный подход к моделированию нестационарного процесса.

Отсюда мы заинтересованы в рассмотрении возможности того, что ранг П не является ни полным, ни нулевым. Это говорит о существовании коинтеграции. Проблема заключается в том, что в условиях белого шума мы не будем знать точного ранга П. Таким образом, мы должны

построить статистическую процедуру оценки матрицы и ее компонентов (а и у) и ассоциированный критерий ее ранга.

Одна из таких процедур была разработана Йохансеном (1988). Согласно этому методу уравнение (П.7.18) запишется следующим образом:

АХ, - ОД, 3 = Л,*Д& , + а\ Д£ 2. (П.7.19)

В этой форме, при том что члены белого шума для удобства опущены, мы видим, что надо выразить линейную комбинацию АХ, и К,-г через линейную комбинацию предыдущих разностей.

Если бы мы знали П, то мы могли бы регрессировать АХ, - ГУГ, 3

по и Х, 2 для того, чтобы найти а\ , чтобы найти а\ (это подразумевает отдельные регрессии для каждого компонента). Мы, таким образом, могли бы проверить несколько предполагаемых матриц П и выбрать те, к которым конечные регрессии подходят лучше всего. Это получается, когда линейные комбинации, представляющие правую и левую стороны уравнения (П.7.19), имеют наивысшую корреляцию, так что анализ называется канонической корреляцией, а регрессии - каноническими.

Как видим, философия этого метода схожа с философией метода максимального правдоподобия. В этом контексте параметры (элементы матрицы П) выбираются таким образом, что максимизируют не функцию правдоподобия, а функцию корреляции.

Конечно, мы не обязаны делать повторные предположения относительно П. Мы можем использовать оценки максимального правдоподобия для регрессий. Подробности алгебраических действий были бы совершенно ичпишни в этом тексте, но общий план процедуры таков:

1) регрессируйте АХ, по предыдущим разностям и запишите остатки Rat,

2) регрессируйте Х, к по к- 1 предыдущим разностям и запишите остатки Rk, (в нашем примере к = 3);

3) постройте четыре матрицы

1 j

1 j /=1

/=1

5) собственные векторы матрицы П являются решениями уравнения

- S/ю 5од Sok\ = 0, где вертикальная черта значит определяющий ;

6) квадраты канонических коэффициентов корреляции, которые незначимо отличаются от нуля, показывают сниженный ранг Р. Таким образом, критерий ранга Р основывается на проверке наименьших коэффициентов из ранжированного ряда, или на сумме наименьших;

7) оценками векторов коинтеграции являются соответствующие собственные векторы П;

8) как только известна оценка матрицы П, при помощи МНК можно

получить оценки А*.