Численные методы 379

В табл. 8.1 приведены 20 итераций для нахождения решения.

Таблица 8.1

Интуитивно мы знали, что I2 является чересчур малым значением, а 22 - чересчур большим, следовательно, эти числа были взяты как начальные значения для хх и х2 соответственно:

/(2-) = /(i)=/(l,5). (8.7)

Затем оценивается значение функции х2-2 при х = 1,5. Результат выглядит так:

/1,5) = 2,25-2- =0,25 > 0.

Так как это больше нуля, то (х\ + х2)/2, 1,5 в данном случае занимает место х2. Если на следующем этапе значение функции будет меньше нуля, (х, + х->)/2 займет место х>.

Сейчас мы применим ту же самую процедуру для нахождения lltR для рассмотренного ранее случая (облигация со сроком погашения 2,5 года). Для этого решим следующее уравнение:

Лх) = 98x5-5x4-5x3-5jc2-5jc-105.

В этом примере х равно (1 + IRR). Мы догадались, что приближенные значения х\ и х2 равны 1,0 и 1,1 соответственно. При х - 1,0 Дх) = -27, т.е. 1,0 чересчур мало. При х = 1,1 j\x) - + 2\3, т.е. 1,1 чересчур велико. Поэтому следующий шаг - оценка Функции в средней точке:

/() = /()=/(1,05),

198 1,055 - 5 1,054 - 5 1,053 - 5 1,052 - 5 1,05 - 105 /--- = -2,5526 .

V 1 )

Чтобы пояснить процедуру, рассмотрим первую строку табл. Функция j\(x\ + х2)/2] имеет отрицательное значение - 2,5526, тогда (хх + х2)/2, т.е. 1,05, заменяет х\. В следующей строчке (следующая итерация) функция Д(хх + х2)/2] имеет положительное значение 11,6497, тогда (xj + х2)/2 = 1,075 заменяет х2 в следующей итерации. Эта процедура повторяется в соответствии с необходимыми заменами, проделываемыми перед каждой итерацией, до тех пор пока не будет достигнута необходимая степень точности, - в нашем случае до тех пор пока j\(x\ + х2)/2] не станет равно нулю с точностью до четырех десятичных знаков.

В этом примере была рассчитана полугодовая IRR. Возведение 1,054679 в квадрат дает 1,112348, или годовую IRR, равную 11,2348%.

Этот подход довольно прост, но эффективен. Деление пополам интервала неопределенности на каждой стадии довольно быстро сокращает его до бесконечно малого размера, также на каждой из стадий мы уверены в том, что решение поймано в ловушку , процесс находится под контролем. Тем не менее, метод имеет один недостаток - необходимо, чтобы на самом первом шаге решение было уже поймано . Это не всегда легко. Необходим также некоторый мыслительный процесс, создающий трудности для полной автоматизации метода.

Таблица 8.2

Метод Ньютона-РаФсона

Метод Ньютона-Рафсона широко используется в итеративных процедурах и позволяет более быстро находить решения, чем метод деления пополам. Как и метод деления пополам, этот метод начинается с угадывания значения х. Пусть мы предполагаем х . Тогда значение функции будет f(xn), оно также равно высоте вертикальной линии на рис. 8.2. Пусть касательная к кривой функции в точке (х , Ахп)) пересекает ось х в точке хп+ \.

Вспомним, что в гл. 3, рассматривающей исчисления, мы встречались с понятием наклона кривой в точке, равного соотношению высота/интервал. Высота в нашем примере - этоУ(дги), а интервал - (х -хп+\). Таким образом, зная длины сторон треугольника, можно найти наклон кривой:

Д Хп) =/(* ) (8.8)

Тогда

Лх ) =Пх )(х -х), (8.9)