Правило Симпсона

Правило Симпсона - улучшенный вариант правила трапеций. Площадь под кривой разбивается на бесконечное число интервалов одинаковой ширины. Значение функции j\x) определяется для двух граничных и одного среднего значений х для каждой пары интервалов, в результате чего получаем три точки на кривой (рис. 8.5).

У Функция в виде многочлена,

О 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 X

Рис. 8.5

Через эти три точки может быть проведена уникальная параболическая кривая, под которой и может быть определена площадь. В большинстве случаев это даст более тичное приближение к реальной площади, заключающейся в этих двух интервалах, по сравнению с нахождением и суммированием площадей трапеций.

Не вдаваясь в детали по нахождению соответствующей параболы и площади под ней, так как это довольно утомительно, приведем сразу результат. Площадь оказывается приближенно равна произведению общей ширины двух интервалов и взвешенного среднего высот (значений функций) в соответствии с весами 1, 4 и 1.

Тогда, так же, как и в примере с десятью интервалами (см. правило трапеций), первые два интервала определяются значениями х = 1, 1,1 и 1,2. Приближенно площадь равна:

Следовательно, приближенная общая площадь:

/(1,0) +4/(1,1) + /(1,2)

/(1,2)+4/(13)+ /(1,4)

/(1,4)+ 4/(1,5)+ /(1,6)

/(1,8) + 4/(1,9) + /(2,0)

(8.18)

[Д1,0) + /(2,0) + 4(Д1,1) + /(1,3) + ... + /(1,9)) + + 2(Д1,2) + Д1,4)+ ... + Д1.8))].

Это также можно записать в виде А/3 [ граничные значения + 4 четные + 2 нечетные ], где четные и нечетные обозначены подобным образом, так как х = 1,1, 1,3, 1,5, и т.д., т.е. это вторая, четвертая, шестая и т.д. точки, в которых оценивается значение функции, тогда как х - 1,2, 1,4, 1,6 и т.д. являются третьей, пятой, седьмой и т.д. точками.

Таблица функциональных значений из прошлого примера может быть использована для нахождения следующего:

граничные значения четные нечетные

= 0,1,

= 0,2960,

= 0,6784,

= 0,5338.

Тогда

( граничные значения + 4 четные + 2 нечетные ) = 0,1359

[(2 0,2960) + (4 0,6784) + (2 0,5338)] = 0,1359. (8.19) 6

Точные таблицы стандартного нормального распределения дают результат вероятности между 1 и 2 как 0,1359. Следовательно, правило Симпсона дает более точный результат по сравнению с правилом трапеций при одних и тех же затрачиваемых усилиях на вычисление (это количество расчетов значений функции, которые потенциально дороги с точки зрения затрачиваемого времени).

Гпава 8

Нахождение Функции в виде многочлена для приближенного описания кумулятивной нормальной кривой

Хотя найти интеграл аналитическим способом для стандартной функции нормальной плотности невозможно, соответствующую площадь под кривой приближенно можно определить численно, используя правила трапеций и Симпсона, которые представляют собой численные методы интегрирования. Альтернативный прием - нахождение или подбор многочлена для описания кумулятивной нормальной кривой.

Описание этого подхода выглядит следующим образом:

1. Рассмотреть площадь под стандартной нормальной кривой, как показано на рис. 8.6, а. Соответствующая кумулятивная функция, или огива, показана на рис. 8.6, б.

Каждый кумулятивный уровень площади на рис. 8.6, а отображен в виде высоты на рис. 8.6, б, в сущности отображающем кривую кумулятивной площади.

2. Подобрать функцию в виде многочлена, приближенно описывающую верхнюю половину огивы.

3. Для этого следует воспользоваться следующей функцией:

(0,319382л; - 0,356564л:2 + 1,78148л;3 - 1,82126х4 + 1,33027л;5) - е2

ww--!-Ж,--

(8.20)

где N(z) - значение кумулятивной стандартной функции нормальной плотности в точке z, а х определяется следующим отношением:

х = -.-!-г-, (8.21)

(I+0,231642г)

где z - оцениваемая стандартизованная нормальная переменная.

В этом методе подразумевается, что z положительно, так как оценивается только верхняя половина кривой, т.е. рассматривается кумулятивная вероятность, относящаяся к правой половине функции нормальной плотности.

Если z отрицательно, мы олжны использовать свойство сим-