8,75, обозначим это значение си. Если стоимость актива упадет до 26,25, опцион не должен стоить ничего, это значение обозначим cd.

Для построения полностью захеджированного портфеля покупается одна единица основного актива с одновременной продажей Н опционов. Так как портфель полностью захеджирован, его стоимость будет одинакова независимо от того, поднимется или опустится цена на актив. В обозначениях для биномиального дерева - это Su-Hcu = 26,25 = Sd-Hcd = 26,25 (см. рис. 8.9).

На данном этапе у нас возникают две задачи. Первая - это найти, сколько опционов необходимо продать, чтобы портфель был безрисковым, т.е. каково значение HI Вторая задача заключается в определении справедливой цены, по которой эти опционы должны быть проданы.

Задача 1: количество опционов, которое следует продать

Определяя количество опционов, которое следует продать- для создания безрискового портфеля, заметим, что по приведенному выше биномиальному дереву видно, что размах цен активов определяется выражением S(u-d), или 35(1,25-0,75) = 17,5. Размах стоимостей опционов, в свою очередь, будет (cu-cd) или 8,75-0 = 8,75. Исходя из этой информации мы можем подсчитать количество опционов, которые должны быть проданы, против одной единицы основного актива для того, чтобы портфель стал идеально захеджирован.

Коэффициент хеджирования в этом случае рассчитывается следующим образом:

<

Su - Ней = 26,25

S-Не

Su - Hcd = 26,25

Рис. 8.9

S(u - d) (си - cd)

(8.23)

или в численной форме

35(1,25 - 0,75) 17,5 (8,75 - 0) 8,75

Смысл коэффициента хеджирования может быть объяснен так: S(u-d) - размах возможных цен на актив, a (cu-cd) - размах возможнцх цен на опцион. Тогда, если размах цен активов в два раза больше размаха цен опционов, возникает необходимость в короткой позиции на два опциона, доход по которым полностью возместит потери от одной длинной позиции по активу.

В итоге, в этом примере безрисковое хеджирование состоит из покупки одной единицы основного актива и продажи двух опционов, цена исполнения которых равна 35. Два возможных результата этой стратегии на момент окончания периода выглядят так:

Цена на актив возрастет до 43,75: Su-Hcu = 1,25(35)-2(8,75) = 26,25; Цена на актив упадет до 26,25: Sd-Hcd = 0,75(35)-2(0) = 26,25. Задача 2: справедливая цена

Для решения второй, задачи, состоящей в определении справедливой цены, по которой следует продать опцион в настоящий момент, заметим, что поскольку стратегия является безрисковой, ставка дохода по опциону также должна быть безрисковой. Текущая стоимость портфеля, состоящего из длинной позиции по S и короткой по двум опционам, а также имеющего безрисковую ставку r течение одного года, должна быть равна текущей стоимости дохода в конце года. Этот доход на конец года составляет Su-Hcu = 26,25. Значит, текущая стоимость должна быть равна

26,25/1,1 = 23,86.

Так как текущая стоимость S равна 35, стоимость двух опционов по короткой позиции должна быть 35-23,86 = 11,14. Следовательно, один опцион должен быть оценен в 11,14/2 = 5,57.

Этот процесс может быть выражен в более обобщенной форме. Если R = \ + г, где г - безрисковая процентная ставка, тогда

R(S-Hc) = (Su-Hcu). (8.24)

Это выражение может быть записано следующим образом:

RS-RHc = Su-Hcu.

(8.25)

Оставив в левой части только RHc, получим:

-RHc = -RS + Su-Hcu. (8.26)

Умножим обе части равенства на -1, тогда

RHc = RS-Su + Ней. (8.27)

Разделим обе части равенства на RH и поменяем множители

местами:

Вспомнив, что

S(R - и) + Ней HR

S(u - d)

(8.28)

(8.29)

(си - cd)

подставим это выражение в (8.28) и после некоторых преобразований получим

(R-d) .(u-R) (и -d) (и- d)

(8.30)

что является уравнением опциона на покупку со сроком один год до момента исполнения.

Подставим числовые значения в полученное соотношение (си = 8,75, cd = 0, и = 1,25, d = 0,75, R = 1,1):

(1,25 - 0,75) (1,25 - 0,75) /1,1 = 5,57.

/1,1,

8,75 0

Мы можем упростить процедуру, допустив, что р = (R-d)/(u-d) и (1-р) = (u-r)/(u-d), тогда уравнение (8.30) примет вид

[реи + (1 - p)cd] R

(8.31)

с = [(8,75 - 0,7)+ (0,3 - 0)1/1,1 =5,57.

Следовательно, справедливой стоимостью опциона на покупку будет 5,57. Мы можем проверить, действительно ли это справедливая стоимость для данного опциона, так как этот портфель должен приносить доход согласно безрисковой процентной ставке, которая равна 10%.