Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [ 132 ] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

Установленная стоимость портфеля - это (35-(2 5,57)) = 23,86. Эта сумма, инвестированная под безрисковую процентную ставку на один год, увеличится до 23,86 1,1 = 26,25, что является точной стоимостью захеджированного портфеля в конце года.

Ценообразование опционов на базе создания безрискового хеджа актива, лежащего в осно%е опциона, позволяет избежать зависимости цены опциона от ожиданий инвесторов относительно будущей цены этого актива. Все, что необходимо делать в этом случае, - поддерживать эффективность портфеля для того, чтобы он оставался безрисковым.

Многопериошая биномиальная мопель

В приведенном примере предполагалось, что время между настоящим моментом и моментом исполнения опциона было разделено лишь на один период, в нашем случае один год. Однако биномиальный подход может быть обобщен таким образом, что срок действия опциона может быть разделен на любое количество временных периодов или биномиальных испытаний. Чем больше количество испытаний за данный период, т.е. чем меньше временной период, соответствующий каждому испытанию, тем более точно определение стоимости опциона.

В самом деле, если временной интервал между испытаниями становится бесконечно малым, т.е. торговля в сущности происходит непрерывно, биномиальная модель становится моделью Блэка-Сколса (см. гл. 10).

Независимо от количества биномиальных испытаний используется один и тот же принцип для нахождения стоимости опциона в каждом узле дерева, начиная от момента исполнения опциона к настоящему временному периоду и, таким образом, к текущей цене опциона. Продемонстрируем эту процедуру в следующем примере, в котором цена актива S равна 35, цена исполнения А составляет 35, годовая безрисковая процентная ставка равна 10%, а годовая волатильность (изменчивость) a - 20%; одногодичный временной период разделен на четыре квартальных подпериода или биномиальных испытаний.

Перед тем как увеличить количество биномиальных испытаний, годовую безрисковую процентную ставку необходимо скор-



ректировать в соответствии с более короткими временными промежутками между испытаниями. Например, в этой четырехквартальной модели должна быть задействована квартальная сложная процентная ставка, эквивалентная годовой. В этом случае квартальная сложная эквивалентная процентная ставка будет (1 + г)025-1, где г- годовая процентная ставка, т.е. (ll)0,25 i = о,024. Следовательно, R = 1 + г, в нашей четырехквартальной модели она составляет 1,024.

В некоторых случаях R может быть представлено как (Т-М , где г - непрерывно наращенная ставка, эквивалентная безрисковой процентной ставке. В нашем примере 9,53% - непрерывно наращенная ставка, эквивалентная 10% годовых, т.е.

/f =е0,0953 0,25 = 1 024.

Кроме того, величины потенциального движения в сторону увеличения или уменьшения, т.е. величины и и d, которые относятся к волатильности актива, должны быть определены на основе рыночной информации и скорректированы в соответствии с количеством биномиальных испытаний. Кокс и др. (1979) показали, что иа d соотносятся со средним квадратическим отклонением следующим образом:

и = с -)/ , (8.32)

где (T-t) - срок действия опциона в годах (или соответствующих долях лет), ал - количество биномиальных испытаний. В нашем примере срок действия опциона составляет один год, а количество квартальных биномиальных испытаний равно четырем, следовательно, (T-t)/n =0,25.

Обычно также требуется, чтобы и = l/d, благодаря чему движение цены вверх с последующим движением вниз равнозначно движению вниз с последующим движением вверх. В этом случае видоизмененное биномиальное дерево называется биномиальной решеткой.

Следовательно, движение вверх и вниз определяется изменчивостью переменной, средним квадратическим отклонением натурального логарифма отношений цен активов, т.е. средним квадратическим отклонением непрерывно наращенного дохода.



Гпава 8

Возвращаясь к нашему примеру, рассчитаем значения и, d, R, р и 1-р:

и = еТ-,)/п =е0,2Д2Т=1д0517)

d = e-°J(T-t)/n = е-ч,2Д25 = о,904837, Л = (1 + г)0-25 = 1,1025 = 1,024,

/> = -7f = 0,59539, (8-33)

(u-d)

(!-/>) = 7 = 0,40461.

Теперь перейдем к рис. 8.10. Жизненный цикл опциона (или срок его действия) был разделен на четыре квартальных временных периода. Мы можем рассчитать различные стоимости основного актива после четырех периодов, т.е. на момент исполнения опциона. Стоимость опциона зависит от того, какой путь избрала цена актива. Например, если цена актива возрастала во всех четырех периодах, соответствующий ей узел будет Su4 со значением 52,21. Если же, с другой стороны, цена актива возрастала в течение двух и падала также в течение двух периодов, соответствующий узел будет Su*cfi со значением 35.

Это дерево также показывает различные потенциально возможные стоимости опциона в конце четвертого периода, т.е. на момент исполнения. Для опциона на покупку стоимость на момент исполнения должна быть max [0,5iA-Х\, если, например, актив возрастал в каждом из периодов. Для расчета текущей стоимости опциона следует начать с этих различных конечных значений и найти стоимость опциона в конце третьего периода с помощью уравнения (8.31).

Затем потенциальные стоимости опциона в конце второго периода находятся исходя из значений, полученных для конца третьего периода, а возможные стоимости опциона рассчитываются на конец первого периода исходя из значений на конец второго периода. И наконец, на основе значений, полученных для первого периода, определяется текущая стоимость опциона. Объясним каждый из этих этапов более подробно, ис-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [ 132 ] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175