52,21

с = max [0, Su* - Х] = max [0, 52,21 - 35] = 17,21

:42,75

с = max (0, Stfd - X] = max [0, 42,75 - 35] = 7,75

с = max [0, Sied - X] = max [0, 35 - 35] = 0

28,66

с = max [0, Su3d - X] = max [0, 28,65 - 35] = 0

23,66

с = max [0, S*d - X] = max [0, 23,46 - 35] = 0

Рис. 8.10. Биномиальная модель опциона на покупку

Этап 1: использование стоимостей на момент исполнения для расчета стоимостей третьего периода

На биномиальном дереве видно, что возможные стоимости опциона равны 17,21; 7,75; 0; 0 и 0. На основе этой информации мы можем рассчитать стоимости опциона на конец третьего временного периода.

Прежде всего, вспомним, что и, d и R были изменены с целью учета четырехпериодности этой модели: и = 1,10517, d = = 0,904837 и R = 1,024. Следовательно, р будет равно (1,024- - 0,904837)/(1,10517-0,904837) = 0,59539, а \-р становится (1,10517- 1,024)/( 1,10517-0,904837) = 0,40461.

си3 = [реи* + (\-р)сигЩ/Я =

=1,10517 d = 0,904837 Л = 1,024 р = 0,59539 !-/? = 0,40461 S= 35 Х= 35

= [0,59539 17,21 + 0,40461 7,751/1,024 = = [10,25 + 3,14]/1,024 = 13,07. Аналогичным образом мы можем вычислить стоимость опциона для cu2d:

cu2d = [0,59539 7,75 + 0,40461 0]/1,024 =4,51. Нет необходимости рассчитывать какие-либо значения для других узлов, так как соответствующие величины четвертого периода были равны нулю.

Этап 2: использование стоимостей третьего периода для расчета стоимостей второго периода

Зная, что си3 = 13,07, a cu2d = 4,51, мы можем рассчитать значения для соответствующих узлов на конец второго временного периода следующим образом:

си2 = [реи3 + (1 -р)сиЩ/1,024

= [0,59539 13,07 + 0,40461 4,511/1,024 = 9,38,

cud = \pcu2d + (1 -p)cud2)/1,024,

так как cud2 равно нулю, то

cud = [0,59539 4,51 + OJ/1,024 = 2,62.

Этап 3: использование стоимостей второго периода для расчета стоимостей первого периода

Мы можем найти си и cd следующим образом:

си = [0,59539 9,38 + 0,40461 2,621/1,024 = 6,48, cd = [0,59539 2,62 + OJ/1,024 = 1,52.

Этап 4: использование стоимостей первого периода для расчета текущей иены опипона

Наконец, мы можем определить текущую цену опциона следующим образом:

с =[0,59539 6,48 + 0,40461 1,521/1,024 = 4,37.

В гл. 4 мы определили, что ожидаемое будущее значение переменной - это сумма различных возможных будущих значений, помноженных на соответствующие вероятности. Следовательно, мы можем использовать биномиальное вероятностное уравнение из гл. 4 для определения стоимости опциона на покупку путем расчета ожидаемой стоимости актива, превышающего цену исполнения опциона на момент окончания его срока действия , и дисконтирования этой величины к настоящему моменту. Для определения стоимости опциона на продажу необходимо рассчитать ожидаемую стоимость актива ниже цены исполнения опциона. Приведем общую биномиальную формулу для оценки опциона.

Для опциона на покупку:

С = -j)\j]pJ(-1 P) ~Jmaxl°>uJd ~Js - *l) /(1 + Пп. (8.34)

Для опциона на продажу: Р = Y{-Pj(I- p)n~Jтгх[й,Х-uU ~JS]]/(\ + ,) , (8.35)

где p и 1-p - описаны ранее, n - общее количество биномиальных испытаний, j - количество произошедших движений вверх, a n-j - количество произошедших движений вниз.

Вспомним, что четырехуровневое биномиальное дерево (рис. 8.10) имеет пять возможных исходов. Si/ достигается по еле четырех повышений, стоимость опциона - 17,21 на момент исполнения; Sud - после трех повышений и одного понижения цены, стоимость опциона на момент окончания срока действия - 7,75; Su2d2 - после двух повышений; Sud3 - после одного повышения, a Sd4 - при отсутствии повышений. В каждой из последних трех ситуаций стоимость опциона на момент исполнения нулевая.

Следовательно, для определения стоимости Европейского опциона необходимо выполнить следующие три шага:

1. найти биномиальную вероятность для каждого из результатов на момент окончания срока опциона;

2. умножить дисконтированные стоимости опциона для каждого из этих результатов на соответствующие вероятности;