стоит из серии испытаний) в качестве средней выходных значений по каждому отдельному испытанию, ходу или проигрыванию модели (simulation run).

Для того чтобы это понять, предположим, что мы хотим промоделировать будущую цену актива Sj. Результат или оценку, полученную в ходе моделирования этого актива, обозначим ST - средней множества испытаний, которые дают индивидуальные оценки 5у. Обозначим эти индивидуальные оценки Sj.

Предположим, что мы располагаем данными об эмпирическом распределении непрерывно наращенных доходов по нашему активу. Обозначим индивидуальные наблюдения дохода через г. Тогда оценка Sj после одного периода будет:

Sj = S0er. (8.39)

Если Sj - оценка для п периодов, мы сначала получаем п последовательных наблюдений за доходом, сгенерированных случайным образом, а затем определяем Sj как:

Sj =S0eri -е* +...+ег . (8.40)

Это то же самое, что и

Sj = S0el*-*r-K (8.41)

Этот процесс представляет собой одно испытание.

В испытании, которое только что было описано, используется новая случайная переменная для каждого подпериода всего времени, охватываемого исследованием. Следовательно, использование данных дневных доходов, например, случайной траектории, сгенерированной на базе 250 случайных наблюдений (так как один год содержит 250 торговых дней), даст нам смоделированное одногодичное значение стоимости.

Этот процесс генерирования случайных траекторий важен с той точки зрения, что будущее значение моделируемой переменной зависит не только от конечного значения, но и от того, как оно было получено. Примером могут служить опционы, которые основаны как на средней ставке основного актива, так и на минимальном и максимальном ее значениях.

Этап 4: получение распределения будущей стоимости актива

Этап заключается в многократном повторении процесса, описанного в этапе 3, для того чтобы получить распределение будущей стоимости актива. Весь првцесс повторного осуществления (скажем, десять тысяч раз) испытаний, или проходов называется моделированием. Средняя будущих значений, полученная в этих испытаниях, является смоделированным будущим значением случайной переменной. Смоделированное текущее значение находится путем дисконтирования смоделированного будущего значения по соответствующей дисконтной ставке.

Тогда конечное смоделированное значение случайной переменной, т.е. средняя значений по каждому испытанию, определяется так:

т=- Ы. (8.42)

где ST - конечное смоделированное значение случайной переменной, a Sj - результат на выходе в каждом испытании.

Для определения дисперсии ST сначала необходимо оценить дисперсию Sj следующим образом:

°5,=7-Г- (843)

Дисперсия Sт находится делением дисперсии Sj на п. Тогда стандартная ошибка определяется как

SEsT=f- (844)

Для дополнительных пояснений можно обратиться к приложению 5.1 гл. 5.

Этап 5: применение методов по сокращению Дисперсии для увеличения точности

Среднее квадратическое отклонение оценки Sj- (5) определяется следующим образом:

(8.45)

Из этого следует, что для того чтобы уменьшить среднее квадратическое отклонение в десять раз, необходимо увеличить количество испытаний в 100 раз. Альтернативным же подходом (чтобы сократить такое большое количество испытаний) является применение методов или техник по уменьшению дисперсии. Таких методов было разработано несколько, мы же обсудим два:

антитетический метод случайной величины,

метод контроля случайной величины.

Антитетический метод случайной величины

Метод заключается в следующем. Каждый раз, когда генерируется случайная переменная г, рассчитывается дополняющее ее значение (1-г), которое используется для осуществления параллельного испытания. Таким образом, если входная переменная довольно велика по величине, в параллельном испытании входная переменная будет довольно мала. Как правило, это ведет к значениям по каждому испытанию, которые отрицательно коррелируемы.

Для оценки средней будем использовать выражение S = (S\ + S2)/2, где Si и S2 - результаты параллельных испытаний. Дисперсия S тогда будет (D(SX) + D(S2) + 2cov(Si + 5г))/4. При отсутствии отрицательной корреляции D(S) = (D( Si) + D(S2))/4. Но в случае отрицательной корреляции S\ и S2 будут иметь отрицательную ковариацию, которая уменьшит дисперсию.

Метод контроля случайной величины

Идея, лежащая в основе метода контроля случайной величины, заключается в нахождении переменной, сходной с моделируемой переменной, значение которой известно. Обозначим эту переменную я.

Следующий шаг - использование такого же метода генерирования случайных чисел для моделирования я, что и для моделирования St- Предположим, что полученный результат h. Таким образом, одно и то же случайное число используется для