генерирования выборки S и выборки А. Хотя для получения обеих оценок используется одно и то же случайное число, они не будут одинаковыми вследствие различий в процессах получения /-и А.

Новая оценка S, обозначенная S* рассчитывается так:

S* = A+ ( -А). (8.46)

Дисперсия S* равна:

D(5*) = D( S) + D( A ) - 2cov( S, A ). (8.47)

Среднее квадратическое отклонение тогда составит:

D(5*) = D(S) + Dih)-2co\(S,h) , (8.48)

что будет меньше, чем Д5 *), если

D(A)

2D(5)

(8.49)

Таким образом, возможности уменьшения дисперсии с помощью метода контроля случайной величины зависят от того, удастся ли найти контрольную случайную переменную, которая была бы высококоррелируема с моделируемой переменной и в то же время имела сходное распределение вероятностей.

Применение метода Монте-Карло к ценообразованию опционов

Проиллюстрируем использование метода Монте-Карло для определения стоимости одногодичного опциона на покупку актива, имеющего распределение дохода, изображенное на рис. 8.12. Текущая цена актива равна 1000 единиц, цена исполнения опциона также составляет 1000 единиц, а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых (непрерывно наращенная). Мы используем технику моделирования, поскольку, как видно из рис. 8.12, эмпирическое распределение вероятностей не является нормальным.

На первом этапе необходимо определить распределение. Используя наши данные, мы найдем, что средняя дневного дохода равна 0,000455, а среднее квадратическое отклонение дневного дохода - 0,0100694. Необходимо преобразовать равномерно распределенную случайную переменную в другую случайную пере-

меннуто с распределением, идентичным эмпирическому распределению актива. Результатом будет серия случайных наблюдений за дневным доходом.

В действительности мы не используем наблюдаемую среднюю дневную доходность г, мы осуществляем корректировку. Вспомним, что в биномиальной модели ценообразования опционов опцион был оценен в рамках нейтральности к риску, так как было допущено, что опционная позиция может быть идеально захеджирована. То же самое мы допускаем и в процессе Монте-Карло. Вследствие этого соответствующая непрерывно наращенная ставка дохода будет однодневным эквивалентом безрисковой ставки, относящейся к сроку действия опциона. Предположим, что ставка равна 6% годовых, поэтому следует скорректировать дневную непрерывно наращенную ставку. Для этого мы должны вспомнить, что нормальное распределение со средней ц и средним квадратическим отклонением а может быть трансформировано в логнормальное распределение со средней

ем+°-2/2 Следовательно, для того чтобы получить годовую ставку 6%, мы должны скорректировать дневной непрерывно наращенный доход г так, чтобы eM+<l2/2 = е0-06/250. Значит, г + 0,01006942/2 = 0,06/250, что дает г = 0,000189.

В результате текущая цена актива наращивается в соответствии с дневным эквивалентом 6% годовых, а распределение вероятностей сохраняет свою форму. В сущности эмпирическое распределение смешено влево, его форма не изменяется, а средняя становится меньше, что иллюстрирует рис. 8.14.

0,000189

0,000455

Доходы

Рис. 8.14. Преобразование распределения дохода

Второй этап заключается в наращении текущей цены актива по случайной дневной ставке дохода для каждого дня торговли в течение срока действия опциона. В нашем примере мы допустили, что один год содержит 250 торговых дней. Так как эмпирическое распределение вероятностей относится к непрерывно наращенному доходу, цена актива наращивается следующим образом:

где г - случайное наблюдение однодневной ставки непрерывного наращения дохода, полученное согласно такому же эмпирическому распределению вероятностей, что и для данных основного актива.

Общий эффект этих 250 случайных наблюдений - это одно испытание. Мы должны повторить его много раз, чтобы снизить изменчивость нашей средней и привести в соответствие с требованиями точности. В этом примере мы решили, что для достижения достаточной точности средняя должна иметь ошибку менее 0,50. Годовая волатильность (изменчивость) основной переменной составляет 15,9%. Следовательно, годовое среднее квадратическое отклонение для актива с ценой 1000 единиц равно 159. Поэтому стандартная ошибка полученной средней не будет превышать 159/л/я, где п - количество испытаний (чем выше цена исполнения, тем ниже фактическая стандартная ошибка). Для того чтобы снизить ее до 0,50, п должно быть равно 125000.

Заметим, что правило определения количества испытаний может быть выражено как:

где se - требуемая стандартная ошибка.

Таким образом, процесс был повторен 125000 раз, предоставляя 125000 альтернативных значений Sf.

Затем мы должны применить к опционам те же ограничивающие условия, что и в биномиальной модели, т.е. стоимость опциона на покупку во время Г будет Cf = maxlSj-Х,0]. Эти ограничивающие условия применяются к каждому значению Sf, а затем находится средняя всех 125000 значений Cf, которая при дисконтировании дает стоимость опциона.

ST =S0en е2-...-е250. Ранее мы заметили, что это то же самое, что и

ST =50е(г+г2+-+),

(8.50)