Результатом наших 125000 испытаний модели является цена опциона 93,52. Биномиальная модель, состоящая из 100 испытаний, или модель Блэка-Сколса, которая будет обсуждена в гл. 10, дают значение 93,03. Как видно из рис. 8.12, наш моделируемый опцион может иметь меньшую цену, чем та, которая была получена из уравнения Блэка-Сколса: эмпирическое распределение немного смещено вправо, а также немного приподнято над значением средней. Так как мы определяем стоимость опциона на покупку, это будет иметь эффект небольшого уменьшения стоимости.

Выбор 125000 испытаний был обусловлен расчетом стандартной ошибки будущей цены актива. Однако требуемая стандартная ошибка цены опциона будет меньше, чем стандартная ошибка цены актива вследствие применения ограничивающих условий к опциону (тах[£- Х,0]). В результате это приведет к более узкому размаху конечных величин. Среднее квадратическое отклонение 125000 цен опциона было 125, тогда

St VJ25000 353,55

Мы можем сказать с уверенностью 95%, что реальная цена опциона составляет 93,52 плюс/минус 0,7 (т.е. две стандартные ошибки).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Облигация имеет срок погашения 2,5 года. По ней выплачиваются полугодовые купоны в 5 единиц. Облигация будет выкуплена по цене 100 единиц. Ее текущая цена составляет 102 единицы. Вычислите полный доход при погашении (gross redemption yield - GRY) для этой облигации, используя:

а) метод деления пополам;

б) метод Ньютона-Рафсона.

Сравните и сопоставьте эти два подхода.

2. Случайная величина X распределена как N (6,9). Следовательно, функция плотности вероятности для X:

Требуется оценить р(8 £ Х< 10) с помощью:

а) статистических таблиц;

б) правила трапеций для четырех интервалов;

в) правила Симпсона для четырех интервалов;

г) нахождения функции в виде многочлена.

3. Используя однопериодную биномиальную модель и нижеприведенные данные, убедитесь, что справедливая стоимость опциона на покупку равна 7,95.

Цена актива равна 75 единицам, цена исполнения - 50 единицам, процентная ставка - 10% годовых, срок действия 1 год. Цена актива будет двигаться вверх и вниз на 25% в течение одного года.

4. Убедитесь, что коэффициент хеджирования Н в примере выше равен 2.

5. Исходя из данных, приведенных ниже, постройте шестипериодную биномиальную модель и убедитесь, что справедливая цена опциона на покупку составляет 4,52 единицы.

Данные: цена актива - 35 единиц, цена исполнения - 35 единиц, волатильность - 20%, краткосрочная процентная ставка - 10% годовых, время до исполнения - один год.

6. Используя данные из вопроса 3, разработайте трехступенчатую триномиальную модель и убедитесь, что справедливая цена опциона равна также 4,52 единиц.

7. Кратко опишите пять этапов процесса моделирования методом Монте-Карло в приложении к ценообразованию опционов на актив, имеюший логнормальное распределение

8. Опишите антитетический метод случайной величины и метод контроля случайной величины как техники по сокращению дисперсии. Объясните преимущества и недостатки каждого из них при использовании метода Монте-Карло к ценообразованию опционов.

ОТВЕТЫ

К ИЗБРАННЫМ

ВОПРОСАМ

1. GRY определяется выражением х2- 1, где х - решение следующего уравнения:

102х5-5х4-Sx3-Зх2-5 -105 =0.

а) результат применения метода деления пополам: (f(x) = 102х5-5х4-5х3-5х2-5х-105 =0)

Корень уравнения равен 1,045, тогда GRY = 9,2%. б) применение процедуры Ньютона-Рафсона дает:

2. а) 0,1613. б) и в)

б) правило трапеций: 0,16126389,

в) правило Симпсона: 0,16128010,

г) использование многочлена: 0,908780897-0,74750848=0,1612848.