СПИСОК

ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Black, F. and Scholes, M.J. (1973) The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy,St, 637-59.

Boyle, P.P. (1977) Options: a Monte-Carlo approach. Journal of Financial Economics, 4, 323-38.

Cox, J.C., Ross, S.A. and Rubinstein, M. (1979) Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics, 7, 229-63.

Rendelman, R. and Baiter, B. (1979) Two state option pricing. Journal of Finance, 34, 1093-110.

Wilmot, P., Dewynne, J. and Howison, S. (1993) Option Pricing. Mathematical Models and Computation. Oxford Financial Press, Oxford.

Wilmot, P., Howison, S. and Dewynne, J. (1995) The Mathematics of Financial Derivatives. A Student Introduction. Cambridge University Press, Cambridge.

Winston, W.J. (1996) Simulation Modeling Using @ Risk. Wadsworth.

ОПТИМИЗАЦИЯ

Введение

Определения Линейное программирование

Выбор портфеля из трех активов - использование линейного программирования для контроля систематического риска

Графическое решение

Симплексный метод Построение портфелей для минимизации общей дисперсии

Граница эффективности

Задача оптимизации портфеля

Оптимизация при ограничениях

Оптимизация при ограничениях в виде равенств: использование множителей Лагранжа

Квадратическое программирование с неравенствами

Условия Кюиа-Такера Метод Данцига-Вольфа Краткий обзор методов восхождения на холмы

Методы активной группы для задач квадратического программирования

Упражнения

Список используемой и рекомендуемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы рассматриваем оптимизацию, особое внимание уделяем определению структуры оптимальных портфелей, где оптимальный определяется как имеющий минимальную дисперсию при заданном уровне дохода.

Из гл. 3 мы узнали, что можно использовать математический анализ, чтобы найти оптимальные точки (экстремумы), которые являются либо точками минимума, либо точками максимума функции. Мы также узнали, что, используя множители Лагранжа, можно найти экстремумы при соответствующих ограничениях. Нахождение экстремума любой функции эквивалентно (если функция дифференцируема, а также при небольших трудностях, таких, как стационарные точки перегиба) решению

уравнения f\x) = 0. Наша оптимизационная задача состоит в том, чтобы найти портфель с минимальной дисперсией, где дисперсия портфеля - это функция от ковариации и весов активов. Однако мы также имеем ограничение, касающееся достижения какого-то минимального уровня дохода по портфелю.

В этой главе мы расширим анализ экстремумов до многофакторного примера, а такжеприменим критерии, известные как условия Кюна-Такера, для того чтобы применить множители Лагранжа в том случае, когда ограничения выражены в виде неравенств, а не уравнений.

Таким образом, последовательность изучения оптимизации (и структуры главы) следующая:

изучение линейного программирования;

объяснение задачи выбора оптимальных портфелей рискованных активов;

повторение темы множителей Лагранжа и их приложения к многофакторному примеру;

объяснение и применение условий Кюна-Такера;

описание методологии Данцига-Вольфа, позволяющей использовать методы линейного программирования для решения задачи квадратического программирования.

Начнем с определения некоторых терминов, используемых в этой главе.

Определения

Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет

N N

минимизировать Z = И1/ wi [cov v ]> 1)

/=1у-1

где Z - общий риск, W( - веса активов в портфеле.

Из гл. 2 вспомним, что риск портфеля активов представляет собой функцию дисперсий и ковариации активов и что дисперсия отдельного актива равна его ковариации с самим собой. Вспомним также, что дисперсия рассчитывается по отклонениям