в квадрате. Таким образом, целевая функция нелинейна, это квадратическая функция.

Далее увидим, что некоторые портфельные задачи имеют линейные целевые функции.

Ограничения. Целевая функция обычно задается с учетом набора ограничений. Например, какие-то средства необходимо инвестировать в каждый из активов. Может быть ограничение, что все средства должны быть полностью инвестированы. Другое ограничение может заключаться в том, что минимальный риск должен быть достигнут при условии получения какого-то минимального уровня дохода. Эти три ограничения можно отобразить как

2)£и = 1; (9.2)

3) Л > 0,10.

Ограничение 1 свидетельствует о том, что все активы должны иметь вес в портфеле, больший нуля. Его формой является ограничение в виде неравенства. Ограничение 2 означает, что сумма весов равна единице. Это ограничение в виде равенства. Оно просто означает, что все средства должны быть инвестированы в рискованные активы. Ограничение 3 говорит, что по портфелю должна быть получена ставка дохода, которая равна или больше чем 10%. Это еше одно ограничение в виде неравенства.

Могут быть добавлены дальнейшие охраничения, подобные двум указанным ниже. Они также являются ограничениями в виде неравенств и просто утверждают, что вес актива j в портфеле не должен превышать 10%, в то время как вес актива к не должен превышать 15%.

4) Wj <, 0,10;

5) 1Vks0A5. (9.3)

Эти примеры не являются всеобъемлющими, однако они показывают две формы ограничений - в виде равенств и в виде неравенств.

Задача математического программирования - это задача, в которой функцию многих переменных (целевую функцию) необходимо оптимизировать при наборе ограничений. Число огра-

уравнения Длс) = 0. Наша оптимизационная задача состоит в том, чтобы найти портфель с минимальной дисперсией, где дисперсия портфеля - это функция от ковариации и весов активов. Однако мы также имеем ограничение, касающееся достижения какого-то минимального уровня дохода по портфелю.

В этой главе мы расширим анализ экстремумов до многофакторного примера, а такжеприменим критерии, известные как условия Кюна-Такера, для того чтобы применить множители Лагранжа в том случае, когда ограничения выражены в виде неравенств, а не уравнений.

Таким образом, последовательность изучения оптимизации (и структуры главы) следующая:

изучение линейного программирования;

объяснение задачи выбора оптимальных портфелей рискованных активов;

повторение темы множителей Лагранжа и их приложения к многофакторному примеру;

объяснение и применение условий Кюна-Такера;

описание методологии Данцига-Вольфа, позволяющей использовать методы линейного программирования для решения задачи квадратического программирования.

Начнем с определения некоторых терминов, используемых в этой главе.

Определения

Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет

N N

минимизировать Z = ]Г ]Г Wt Wj [cov у j, (9.1)

; = ly-l

где Z - общий риск, Щ - веса активов в портфеле.

Из гл. 2 вспомним, что риск портфеля активов представляет собой функцию дисперсий и ковариации активов и что дисперсия отдельного актива равна его ковариации с самим собой. Вспомним также, что дисперсия рассчитывается по отклонениям

в квадрате. Таким образом, целевая функция нелинейна, это квадратическая функция.

Далее увидим, что некоторые портфельные задачи имеют линейные целевые функции.

Ограничения. Целевая функция обычно задается с учетом набора ограничений. Например, какие-то средства необходимо инвестировать в каждый из активов. Может быть ограничение, что все средства должны быть полностью инвестированы. Другое ограничение может заключаться в том, что минимальный риск должен быть достигнут при условии получения какого-то минимального уровня дохода. Эти три ограничения можно отобразить как

1) Wt >0;

2)£И/. =1; (9.2)

3) Я > 0,10.

Ограничение 1 свидетельствует о том, что все активы должны иметь вес в портфеле, больший нуля. Его формой является ограничение в виде неравенства. Ограничение 2 означает, что сумма весов равна единице. Это ограничение в виде равенства. Оно просто означает, что все средства должны быть инвестированы в рискованные активы. Ограничение 3 говорит, что по портфелю должна быть получена ставка дохода, которая равна или больше чем 10%. Это еше одно ограничение в виде неравенства.

Могут быть добавлены дальнейшие офаничения, подобные двум указанным ниже. Они также являются ограничениями в виде неравенств и просто утверждают, что вес актива j в портфеле не должен превышать 10%, в то время как вес актива к не должен превышать 15%.

4) Wj 5 0,10;

5) Щй0,15. (9.3)

Эти примеры не являются всеобъемлющими, однако они показывают две формы ограничений - в виде равенств и в виде неравенств.

Задача математического программирования - это задача, в которой функцию многих переменных (целевую функцию) необходимо оптимизировать при наборе ограничений. Число огра-