Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

ничений, как правило, меньше, чем (обычно значительно меньше) число переменных. Оптимальный вариант устанавливается в условиях максимизации или минимизации.

Задача линейного программирования - это задача, в которой целевая функция и ограничения линейны.

В задаче квадратического программирования целевая функция является квадратической функцией переменных, т.е. значения некоторых из переменных находятся во второй степени, однако ограничения остаются линейными.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Ограниченные оптимизационные задачи, в которых целевая функция имеет вид линейной функции переменных и в которых функции ограничений также линейны, известны как задачи линейного программирования.

Задачи линейного программирования для двух переменных могут быть решены с помощью построения графиков. В 1940-х годах Данциг разработал алгоритм, называемый симплексным алгоритмом, эффективно преобразующий графический подход в алгебраический метод, который может быть использован для компьютерного приложения и позволяет обрабатывать любое число переменных. Симплексный алгоритм - это итерационный процесс нахождения оптимального значения (экстремума) целевой функции.

Приложением линейного программирования (ЛП) к выбору портфеля является построение портфелей в рамках модели ценообразования активов капитала (Capital Asset Pricing Model - САРМ). Детализированный анализ этой модели можно найти в книге Уотсхэма (1993). Здесь же дадим краткое его описание.

Модель выражает ожидаемый доход по активу в виде линейной функции от безрисковой ставки дохода, ожидаемого дохода по рыночному портфелю и уровня систематического риска, присущего активу. Ожидаемый доход по активу i определяется как Д/у) = у + $,{E(rm)-rj), где (E(rm)-rj) - ожидаемая премия за риск по активу /, а р, - мера систематического риска данного актива.

Когда мы комбинируем активы в портфель, доходы по каждому активу складываются в линейной форме, и риск портфеля, представляемый В портфеля, тоже является линейной комбина-



Рассмотрим задачу построения портфеля с целевой ф достижения максимального ожидаемого дохода при то Щ ничении, что р портфеля не должна быть выше 1,1. Дс/ что для выбора у нас есть три актива - А, В и С. Их ож/ ц<

. ft

цией. В данном случае это средняя взвешенная из (J, отд/ активов. /0И

Для иллюстрации этого предположим, что мы желаем cW нировать два актива в портфель с пропорциями Wa и Wb:.. Wb- 1). Допустим, что ожидаемые доходы по этим активаУ1 начаются E(ra) и Е(гь) соответственно и что р активов - Вс ж

Тогда ожидаемый доход по портфелю будет равен wjfr tVbE(rb), т.е. доходы складываются линейно. То же самое df ли в гл. 2, когда рассматривали доходы по портфелю рц<1 ных активов с использованием анализа средних и дисперЫ

Подобно этому, так как в модели САРМ

Е(га) = rf+ME(rJ-rj)

следует, что доход по портфелю определяется через

Walrf+ ра(Дг ,)-/))1 + Щг,+ МЕ{гт)-ф] = rf+ [Wa\Za + Wb\bb№rm)-rj) = 7+ \Z(E(rm)-rf),

где В = W&a + В*, i

Таким образом, p портфеля активов является средне й шенной р отдельных активов. Следовательно, если цедь ft дуры оптимизации заключается в максимизации лох¥ портфелю при ограничениях максимального размера р тюЩ перед нами ставится задача, где целевая функция, т.е. дУ# портфелю, линейна и ограничения тоже линейны. Следе но, мы имеем задачу линейного программирования. Проиллюстрируем приложение линейного программу С к максимизации дохода по портфелю из трех активов цг; ничении максимального уровня р портфеля.

Выбор портфеля пз трех активов - использование линейного программирования1 для контроля систематического риска



доходы составляют 0,11, 0,15 и 0,08 соответственно. В для САРМ равны 1, 1,2 и 0,9 соответственно. Доли каждого из активов в портфеле обозначаются как Wa, Щ и Wc. Значения этих весов устанавливаются портфельным менеджером и являются переменными, которые могут корректироваться для достижения цели. Ожидаемые доходы и значения В различных активов зафиксированы с точки зрения портфельного менеджера, потому что они определяются рынком. Однако доходы и величина р портфеля могут формироваться портфельным менеджером посредством подбора доли каждого из активов в портфеле. Цель состоит в том, чтобы найти те комбинации весов, которые максимизируют целевую функцию при ограничениях.

Таким образом, задача заключается в определении оптимальных пропорций (весов) каждого из активов, которые приведут к максимальному ожидаемому доходу при условии данного максимального уровня риска (р). Эта задача может быть сформулирована математически следующим образом.

иелевая фуикипя

Максимизировать (доход)

0,11 И/ +0,15И + 0,08 И/. (9.8)

Так как доход по каждому активу предопределен, только веса могут быть изменены для достижения целевой функции.

Ограничения

Мы заметили выше, что р портфеля не должна превышать 1,1 - это первое ограничение. В данном примере в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции - это второе ограничение. И все средства должны быть полностью инвестированы - это третье ограничение. Таким образом, целевая функция и ограничения имеют вид, указанный ниже.

Максимизировать (похон) при

1. Wa + \,2Wb+ 0,9Й<1,1 (р портфеля не должна превышать 1,1) (9.9)

2. 0 И/<1



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175